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DynamicPricer

Solveur et étude numérique des politiques conjointes de tarification et de production d'un système make-to-stock à capacité limitée, dont la demande est modulée par une chaîne de Markov.

Le projet reproduit puis étend les résultats de Gayon, Talay-Değirmenci, Karaesmen et Örmeci (2009), Optimal Pricing and Production Policies of a Make-to-Stock System with Fluctuating Demand, Probability in the Engineering and Informational Sciences, 23(2), 205-230.

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Question étudiée

Un fabricant produit un article unique, le stocke, et le vend à une clientèle sensible au prix. Sa capacité de production est bornée (un serveur unique traitant une unité à la fois) et la demande alterne entre plusieurs régimes qu'il observe sans les contrôler.

Il dispose de deux leviers : le niveau de stock jusqu'auquel produire, et le prix affiché. La question posée est celle du second :

Jusqu'où faut-il complexifier une politique de prix, et quel gain en attendre ?

Trois degrés de sophistication sont envisageables, du prix unique au prix recalculé à chaque mouvement de stock, chacun plus coûteux à exploiter que le précédent. L'étude quantifie le gain de chacun et détermine où s'arrêter.

Modèle

L'état est le couple $(x, e)$ : niveau de stock et régime de demande courant.

Composante	Spécification
Production	serveur exponentiel de taux $\mu$, une unité à la fois, coût unitaire $c$
Environnement	chaîne de Markov à $N$ états, taux de transition $q_{ej}$
Demande	processus de Poisson modulé, intensité $\lambda_e(p) = \Lambda_e , (1 - a p)$
Coûts	stockage $h$ par unité et unité de temps, pénurie $b$ sous zéro

Après uniformisation, c'est-à-dire sous la normalisation

$$ \mu + \sum_{e} \Lambda_e + \sum_{e} \sum_{j \neq e} q_{ej} = 1, $$

l'équation d'optimalité en gain moyen s'écrit

$$ v(x,e) + g = -h(x) + \mu , T_0 v(x,e) + T_2 v(x,e) + T_\lambda v(x,e), $$

où $T_0$ porte la décision de production, $T_2$ les transitions d'environnement réelles et fictives, et $T_\lambda$ l'arrivée de demande. Pour la tarification dynamique, $T_\lambda$ est remplacé par

$$ T = \max_{\lambda} T_\lambda, $$

dont le maximiseur admet une forme fermée pour la demande linéaire.

Les cinq stratégies

Le prix et le base-stock constituent deux axes de liberté indépendants, ce qui donne cinq politiques et non trois. Tous les gains rapportés le sont relativement à S.

	Prix unique	Un prix par régime	Un prix par état
Base-stock unique	S	SB	non considérée
Un base-stock par régime	SP	EDP	DP

Résultats structurels

Quatre propriétés du papier sont vérifiées numériquement sur chaque instance résolue : la politique de production optimale est un base-stock dépendant du régime (Théorème 1) ; le prix DP décroît avec le stock (Théorème 2) ; les base-stocks sont ordonnés comme les régimes sous la Condition 1 (Théorème 3) ; et le prix DP franchit $p^* = \dfrac{1}{2a}$ exactement au niveau de base-stock (Corollaire 1).

Méthode numérique

Le solveur repose sur l'itération sur les politiques. À prix fixés, la politique optimale est entièrement décrite par $N$ entiers, ce qui rend l'espace des politiques minuscule : chaque tour résout exactement

$$ (I - P), v + g , \mathbf{1} = r, $$

puis relit les seuils dans la fonction de valeur. La convergence demande 5 à 8 tours.

La value iteration, employée initialement, ne convenait pas : avec $q$ faible devant les taux de demande, le mélange de la chaîne est lent, le module de contraction en span vaut environ $1 - O(q)$, et plusieurs milliers d'itérations sont nécessaires.

Un second solveur, indépendant, calcule le même gain moyen par la loi stationnaire du générateur en temps continu :

$$ \pi Q = 0. $$

Les deux méthodes concordent à la précision machine, ce qui valide simultanément l'uniformisation, la normalisation du gain et la construction du générateur.

Moteur natif (optionnel)

Deux noyaux dominent le temps de calcul et sont portés en Rust : le balayage de prix de la stratégie EDP, dont le coût croît en $(1/\text{pas})^N$, et la recherche de seuil commun des stratégies S et SB, qui évalue chaque niveau candidat pour chaque vecteur de prix.

Le levier principal n'est pas le langage mais la structure. La matrice d'évaluation $I - P$ est bloc-tridiagonale (la production couple le bloc $x$ au bloc $x+1$, la demande au bloc $x-1$, l'environnement reste dans le bloc) et ses blocs hors-diagonale sont eux-mêmes diagonaux, ni la vente ni la production ne changeant de régime. Un algorithme de Thomas par blocs coûte donc $O(X N^3)$ au lieu de $O\big((X N)^3\big)$ : à $N = 4$ et $X = 61$, environ 12 000 opérations contre 4,8 millions. numpy ne peut pas l'exprimer, faute de solveur bloc-tridiagonal par lot. Les instances du balayage étant indépendantes, elles sont ensuite réparties sur les cœurs disponibles.

	Python	Rust
Balayage EDP, $N=2$, pas 0,01, $\varepsilon=0{,}8$ (9 801 vecteurs)	47,2 s	0,8 s	x59
Balayage EDP, $N=4$, pas 0,1 (6 561 vecteurs)	35,4 s	1,2 s	x29
Seuil commun SB, $N=4$, pas 0,1	89,7 s	3,8 s	x23
solve_all, $N=4$, pas 0,1	90,6 s	5,5 s	x16
solve_all, $N=4$, pas 0,05 (130 321 vecteurs)	environ 40 min	104 s	x23
Validation complète contre le papier	135 s	16,5 s	x8

Le moteur Python demeure la référence : c'est lui qui est validé contre le papier, et le portage n'hérite de cette validation que par les tests d'équivalence de tests/test_native.py. En l'absence du module compilé, le solveur retombe silencieusement sur Python.

Validation

Contre le papier

Périmètre : $N = 2$, sans coût de mise en route, ventes perdues (le cas exact de la source).

Élément	Résultat
Table 4, base-stocks optimaux	20 valeurs sur 20 exactes
Table 3, profit gains	écart maximum de 0,14 point de pourcentage
Table 5, prix S / SB / SP / EDP	toutes les valeurs exactes
Table 2, menu de prix	les 15 valeurs concordent
Figure 1, gain maximal mono-environnement	3,80 % contre 3,81 % publié
Figure 2, $\max_\mu PG(\text{dp},\text{edp})$	3,22 % contre 3,24 % publié

La Table 4 constitue le test le plus discriminant : les base-stocks étant des entiers, aucun écart ne peut s'y dissimuler derrière un arrondi. Les valeurs de la Figure 1 et de la Figure 2 proviennent de balayages indépendants et n'ont jamais servi de cible.

Cohérence interne des extensions

Trois volets dépassent le périmètre de la source et ne disposent d'aucune référence publiée. Ils sont vérifiés par des cas limites, ce qui constitue une garantie sensiblement plus faible.

Extension	Cas limite	Écart
$N > 2$ régimes	un régime dédoublé dans un modèle à 3 états reproduit le cas à 2 états	nul
Coût de mise en route $K > 0$	$K = 0$ redonne le modèle sans coût de mise en route	nul
Backlog $b > 0$	$b \to \infty$ converge vers le comportement à ventes perdues	$3{,}5 \times 10^{-8}$

Écarts relevés dans la source

La reproduction fait apparaître trois points sur lesquels les valeurs ou le texte publiés diffèrent des résultats du solveur, ou d'eux-mêmes. Leur interprétation reste à clarifier auprès des auteurs. Les trois sont figés dans la suite de tests, de sorte qu'une évolution du solveur les ferait apparaître plutôt que de les dissimuler dans une tolérance élargie.

1. Le paragraphe 5.3.2 observe, « dans toutes les expériences », que $s(\varphi,e) \leq s(\text{dp},e)$ pour $\varphi \in {\text{s}, \text{sb}, \text{sp}, \text{edp}}$. La Table 4 du même article publie pourtant $s(\text{sb}) = 4$ et $s(\text{dp},L) = 3$ à $\varepsilon = 0{,}8$. Le solveur reproduit ces deux valeurs exactement : l'écart ne vient pas du calcul. La propriété n'est naturelle que pour SP et EDP, dont le base-stock dépend du régime ; S et SB n'en ont qu'un, compromis entre les régimes, qui n'a pas de raison de rester sous le seuil retenu par DP dans le régime le plus faible.
2. Table 5, $\varepsilon = 0{,}6$ : $p(\text{dp},L)$ publié à 0,33, calculé à 0,31. La valeur 0,33 figure aussi dans la version de conférence de 2006. Le solveur applique la définition du papier (minimum sur les états récurrents, atteint au stock 22) ; 0,33 correspond au prix du stock 20, mais ce choix de fenêtre contredirait les autres colonnes de la même ligne. L'écart reste inexpliqué.
3. Table 5, $\varepsilon = 0{,}8$ : $p(\text{dp},H)$ publié à 0,99, calculé à 0,88. Ici la source diverge d'une version à l'autre : la version de conférence de 2006 (mêmes paramètres) publie 0,88, que le solveur retrouve (0,883). La version de revue publie 0,99 et son texte donne un écart de prix de DP de 0,8, cohérent avec 0,99 : ce n'est donc pas une simple coquille de tableau, et on ignore si elle provient d'un nouveau calcul ou d'une erreur propagée. Le solveur ne retrouve 0,99 nulle part : le prix maximal de DP reste à 0,883 pour toute variabilité de 0,7 à 0,95, et le résultat est insensible à la troncature de l'espace d'état comme à la tolérance numérique.

Principaux résultats

Sans fluctuation de la demande, la tarification dynamique ne rapporte presque rien. En régime unique, S, SB, SP et EDP se confondent, et le gain de DP mesure exactement l'apport de la dépendance au niveau de stock. Le maximum atteignable sur l'ensemble du plan $(\mu, h)$ est de 3,81 %. Ce gain est en outre non monotone en capacité : nul aux deux extrémités, maximal à capacité intermédiaire.

Avec fluctuation, l'ordre de grandeur change, mais pas là où on l'attend. Au point de référence ($\varepsilon = 0{,}8$, $h = 0{,}01$, $\mu = 0{,}11$), le gain atteint 15,3 % pour DP et 13,7 % pour EDP (il croît fortement avec le coût de stockage : 201 % pour DP à $h = 0{,}1$, relativement à S), dont l'essentiel provient de l'adaptation au régime et non au niveau de stock : l'écart entre DP et EDP reste sous 3,3 % sur tout le balayage de capacité.

Le classement de SP et SB s'inverse avec la capacité. À capacité contrainte ($\mu = 0{,}11$), ajuster les prix sans les stocks rapporte 12,0 % quand l'inverse ne rapporte que 2,5 %. À $\mu = 0{,}51$, le rapport s'inverse : 9,1 % contre 2,0 %.

Deux ou trois tarifs suffisent, dans le cadre étudié. Pour le système à un seul régime de la Table 2 ($h = 0{,}01$, cinq niveaux de capacité, troisième prix imposé à la moyenne des deux premiers, donc borne inférieure), un menu de deux prix capte environ 77 % du bénéfice d'un continuum, trois prix environ 93 %. Cette part n'a pas été mesurée pour le système à deux régimes. Le rendement décroît très vite, et l'essentiel se joue entre un prix unique et deux prix.

Installation

Python 3.11 ou plus récent (testé sous 3.12).

pip install -e ".[dashboard,notebooks,dev]"   # ou : pip install -r requirements.txt

L'installation en mode éditable (-e) est requise : le solveur retrouve le moteur natif et les résultats dans rust/ et report/, à la racine du dépôt. Le cœur du solveur ne dépend que de numpy ; les extras dashboard, notebooks et dev ajoutent le reste.

Le moteur natif est optionnel et requiert une chaîne Rust :

cd rust && cargo build --release

Aucune autre étape n'est nécessaire : dynamicpricer/native.py détecte l'artefact et le solveur l'utilise automatiquement.

Pour utiliser un moteur compilé ailleurs (autre machine, conteneur, artefact de CI), pointez la variable d'environnement DYNAMICPRICER_NATIVE_DIR vers un dossier target/ de cargo ou vers le dossier contenant directement la bibliothèque. Elle est prioritaire sur rust/target/ ; si elle ne contient rien d'utilisable, un avertissement est émis et le solveur retombe sur le moteur Python (mêmes résultats, plus lent).

Utilisation

Tableau de bord interactif :

streamlit run dashboard/app.py

L'interface est disponible en français et en anglais : un sélecteur en haut de la barre latérale change la langue sans perdre les paramètres ni les résultats déjà calculés. Par défaut, la langue du navigateur est utilisée.

Curseurs sur $\mu$, $h$, $\varepsilon$, $q$, $a$, ainsi que sur $N$, le coût de mise en route et le backlog. Cinq onglets : comparaison des cinq stratégies, niveaux de stock et courbe de prix, recommandation rédigée à partir des valeurs calculées, formulation mathématique du modèle, et méthode numérique. Le pas de la grille de prix pilote le temps de calcul, qui croît en $(1/\text{pas})^N$ ; le pas 0,05 constitue un bon compromis interactif.

Tests unitaires et d'intégration :

pytest

Validation contre les valeurs publiées, plus lente et donc exclue par défaut :

pytest -m slow

Recalcul des résultats alimentant les notebooks :

python -m dynamicpricer.validation
python -m dynamicpricer.sensitivity

Structure

dynamicpricer/
├── src/dynamicpricer/           # le paquet Python
│   ├── params.py                # dataclass Problem, uniformisation, demande linéaire
│   ├── mdp/                     # solveur en gain moyen
│   │   ├── operators.py         #   opérateurs de Bellman
│   │   ├── policies.py          #   extraction des seuils base-stock
│   │   ├── value_iteration.py   #   solve_mdp (instance unique)
│   │   ├── batch.py             #   solve_batch, average_profit (grille de prix)
│   │   └── dynamic_pricing.py   #   itération sur les politiques pour DP
│   ├── strategies.py            # les cinq stratégies S, SB, SP, EDP, DP
│   ├── metrics.py               # profit gains, états récurrents, contrôles de cohérence
│   ├── validation.py            # comparaison aux tables publiées
│   ├── sensitivity.py           # balayages de µ, h, ε, q et menus de prix
│   ├── native.py                # chargement optionnel du moteur Rust
│   ├── ui_texts.py              # textes du tableau de bord (français / anglais)
│   └── reference_gayon2009.py   # valeurs publiées, transcrites de la source
├── rust/                        # moteur natif : balayage de prix et seuil commun
├── notebooks/
│   ├── 01_validation.ipynb      # reproduction des Tables 2-5 et des Figures 1-2
│   └── 02_sensitivity.ipynb     # analyses de sensibilité et enseignements
├── dashboard/app.py
├── tests/
├── requirements.txt
└── report/                      # rapport HTML autonome, résultats calculés (JSON)

Périmètre et limites

Du modèle. Ni le coût de mise en œuvre d'une politique, ni la réaction des clients aux variations de prix ne sont facturés. Les gains affichés pour la tarification dynamique sont donc des majorants, et son avantage réel sur la tarification par régime est plus étroit que ces chiffres. Le modèle suppose par ailleurs le régime parfaitement observable au moment de décider, hypothèse favorable qui majore elle aussi le gain.

De la validation. Seul le cœur du modèle est validé contre une source publiée. Les trois extensions ne le sont que par cohérence interne : elles sont cohérentes avec elles-mêmes, ce qui n'établit pas leur correction au regard d'une référence externe.

Du coût de mise en route. $K$ est modélisé comme un coût de redémarrage du serveur, avec un état augmenté marche/arrêt, et non comme un coût de commande par lots. Ce second choix, envisagé initialement, supprimait la contrainte de capacité qui fonde le modèle et ne dégénérait pas en production unitaire quand $K = 0$. La politique optimale obtenue est une bande d'hystérésis, non une politique $(s, S)$ au sens de Chen et Simchi-Levi, dont les résultats portent sur un réapprovisionnement non capacité et ne s'appliquent donc pas ici. Le balayage de prix en lot ne couvre pas ce modèle : la comparaison des cinq stratégies suppose $K = 0$.

Du coût de calcul. Le balayage de prix croît en $(1/\text{pas})^N$. Au pas de 0,01 de la source, $N = 3$ et au-delà imposent une grille plus grossière.

Référence

Gayon, J.-P., Talay-Değirmenci, I., Karaesmen, F., Örmeci, E. L. (2009). Optimal Pricing and Production Policies of a Make-to-Stock System with Fluctuating Demand. Probability in the Engineering and Informational Sciences, 23(2), 205-230.

Licence

Code publié sous licence MIT (voir LICENSE). Les valeurs publiées de Gayon et al. (2009) reprises dans src/dynamicpricer/reference_gayon2009.py restent attribuées à leurs auteurs ; les articles eux-mêmes ne sont pas redistribués.