From be831bb15c202b6a01667b0dfd458ac3495eada1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Ahmad Alhour Date: Wed, 8 Jul 2026 17:53:12 +0200 Subject: [PATCH] Complete translation to Arabic --- .gitignore | 1 + app/src/main/res/values-ar/strings.xml | 501 +++++++++++-------------- 2 files changed, 230 insertions(+), 272 deletions(-) diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 874a156..0ca2896 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -6,3 +6,4 @@ app/backup_build/* .gradle/* build/* .idea/* +.DS_Store diff --git a/app/src/main/res/values-ar/strings.xml b/app/src/main/res/values-ar/strings.xml index 5952f20..cf4b0c5 100644 --- a/app/src/main/res/values-ar/strings.xml +++ b/app/src/main/res/values-ar/strings.xml @@ -1,9 +1,9 @@ - ألغاز الاحتمالات - هذا هو الإصدار 4.0، الذي تم إصداره في أكتوبر 2025 - الآن مع أكثر من تسعين لغزًا، وصفر إعلانات، وترجمات باللغات الإسبانية والألمانية والعربية. استمتع! + + هذا هو الإصدار 4.0، الذي تم إصداره في أكتوبر 2025 - الآن مع أكثر من تسعين لغزًا، وبلا إعلانات، وترجمات باللغات الإسبانية والألمانية والعربية. استمتع! \n\nبعض الألغاز في هذا التطبيق ستكون صعبة إذا لم تكن قد درست الاحتمالات. هل تحتاج إلى مراجعة؟ ألق نظرة على\u00A0كتاب دارتموث وهذه\u00A0ملاحظات MIT. يمكنك أيضاً قراءة بعض مسائل الاحتمالات على\u00A0math.stackexchange.com. إذا كنت تفضل مشاهدة المحاضرات على يوتيوب، جرب\u00A0هذه أو\u00A0هذه. - \n\nهذا التطبيق مليء بألغاز الرياضيات، ويستخدم mXparser الإصدار 4.2.0 من Mariusz Gromada لترجمة التعبيرات الرياضية إلى أرقام: سيفهم .2، 0.2، 20٪، أو 1/5. يفهم المحلل أيضاً المضروب والمعاملات الثنائية: جرب كتابة 5!/(3!*2!) أو\u00A0C(5,3) بحرف C كبير لـ "5 اختيار 3." يمكنك أيضاً كتابة e بحرف صغير لأساس اللوغاريتم الطبيعي. قم بزيارة\u00A0mathparser.org لمزيد من المعلومات. + \n\nهذا التطبيق مليء بألغاز الرياضيات، ويستخدم mXparser الإصدار 4.2.0 من Mariusz Gromada لترجمة التعبيرات الرياضية إلى أرقام: سيفهم .2، 0.2، 20٪، أو 1/5. يفهم المحلل أيضاً المضروب والمعاملات ذات الحدّين: جرب كتابة 5!/(3!*2!) أو\u00A0C(5,3) بحرف C كبير لـ "5 اختيار 3." يمكنك أيضاً كتابة e بحرف صغير لأساس اللوغاريتم الطبيعي. قم بزيارة\u00A0mathparser.org لمزيد من المعلومات. \n\nإذا كنت ترغب في المساهمة في التطبيق (أو إلقاء نظرة على الحلول)، ألق نظرة على\u00A0مستودع github! تحدى نفسك مع ألغاز الاحتمالات — قم بتثبيت التطبيق على https://play.google.com/store/apps/details?id=atorch.statspuzzles @@ -22,7 +22,7 @@ عمل رائع! هل تعتقد أنك تستطيع حل جميع الألغاز؟ أنت من الدرجة الأولى في حل الألغاز، إذا سألتني! أنت أذكى شخص قام بتثبيت هذا التطبيق. واصل! - لقد نجحت — تصفيق عالٍ! + رائع، لقد نجحت! بوم — لقد نجحت! عمل جيد! واصل التمرين العقلي. عمل رائع! أنت تزداد ذكاءً مع كل لغز. @@ -43,17 +43,15 @@ مذهل — لقد حللت جميع الألغاز في هذا المستوى! لقد أنهيت المقدمة! هل أنت مستعد لشيء أكثر صعوبة؟ الإعدادات - عمل رائع! إذا كنت خبيراً في الاحتمالات بالفعل، فلا تتردد في العودة إلى القائمة الرئيسية وتجربة بعض الأسئلة الصعبة. لقد أتقنت للتو أول لغز سهل! مرحباً بك في الدوري الكبير: لقد حللت للتو أول لغز جاد! تمهل يا صديقي — هذا لغز صعب قد حللته للتو! - المقدمة المستوى السهل المستوى المتقدم - المستوى الفظيع - تحتاج تلميحاً؟ + المستوى الجنوني + هل تحتاج إلى تلميح؟ التحدث إلى Gemini تم نسخ اللغز إلى الحافظة. تطبيق Gemini غير مثبت. جارٍ فتح Google Play. @@ -61,7 +59,7 @@ المستوى: سهل جداً — أنت تقوم بالإحماء فقط. المستوى: يزداد جدية — قد تحتاج إلى قلم وورقة. - المستوى: مذهل — الضغط على ذلك الزر الثالث كان خطوة جريئة. + المستوى: جنوني — الضغط على ذلك الزر الثالث كان خطوة جريئة. اللغز %d @@ -72,9 +70,7 @@ اللغز التالي حسناً موافق - - تم حل %d / %d - + تم الحل: %1$d من %2$d مشاركة الإعدادات إعادة تعيين البيانات @@ -135,7 +131,7 @@ يمكنك فعل هذا — ركز! ركز! يمكنك حل هذا. استمر! - يمكنك فهم هذا — استمر. + يمكنك حلّ هذا — استمر. أنت لا تخمن أرقاماً عشوائية، أليس كذلك؟ ربما ستأتيك الإجابة في منامك. حاول الذهاب في نزهة طويلة — ستحفز إبداعك. @@ -152,12 +148,10 @@ تريد العودة إلى هذا لاحقاً؟ اسحب أفقياً لتجربة لغز آخر. تواجه صعوبة؟ هناك زر للتلميح في الأسفل. لغز صعب؟ حاول قراءة التلميح في أسفل الصفحة. - لا تستسلم — يمكنك فهم هذا! + لا تستسلم — يمكنك حلّ هذا! اسحب أفقياً لتجربة لغز آخر (يمكنك العودة إلى هنا لاحقاً). - - @@ -168,7 +162,7 @@ اكتب 4! (نعم، علامة التعجب جزء من الإجابة!)، أو جرب 4*3*2 اكتب (-0.7 + 0.2 + 0.1*4)، أو (70٪*(-1) + 20٪ + 10٪*4) إذا كنت تفضل. تريد تجنب كل هذه الكتابة؟ الإجابة هي -0.1 اكتب الحرف e بحرف صغير. - حل المعادلة لـ p وستجد أن p = 6/11، وهي كما هو متوقع، أكبر قليلاً من 50 بالمئة (أي أن آني لديها ميزة طفيفة). إذا كنت تريد تحدياً، حاول الوصول إلى نفس الإجابة بجمع المتسلسلة اللانهائية p = 1/6 * (1 + (5/6)^2 + (5/6)^4 + (5/6)^6 + ...) + حل المعادلة لـ p وستجد أن p = 6/11، وهي كما هو متوقع، أكبر قليلاً من 50 بالمئة (أي أن أمل لديها ميزة طفيفة). إذا كنت تريد تحدياً، حاول الوصول إلى نفس الإجابة بجمع المتسلسلة اللانهائية:\n\np = 1/6 * (1 + (5/6)^2 + (5/6)^4 + (5/6)^6 + ...) النقطة يتم اختيارها بشكل عشوائي موحد من المربع، لذا الإجابة هي ببساطة مساحة الدائرة مقسومة على مساحة المربع. الدائرة لها مساحة pi*(D/2)^2، المربع له مساحة D^2، لذا الإجابة هي pi/4. يمكنك كتابة pi مباشرة في إجابتك @@ -177,13 +171,13 @@ \n\nدعنا نتظاهر أنك قد حللت للتو لغز احتمالات صعب إجابته 0.4، أي 40٪. اكتب تلك الإجابة أدناه واضغط على إرسال. يستخدم التطبيق محلل رياضي يفهم معظم العمليات الحسابية: يمكنك كتابة 2*0.20، 0.30+0.10، أو (80٪)/2، وسيتم قبولها جميعاً كإجابات صحيحة — أو يمكنك الاحتفاظ بالأمور بسيطة وكتابة .4، 0.4 (الصفر قبل العلامة العشرية اختياري)، أو 40٪. عندما يكون حدثان A و B مستقلين (مما يعني أن نتيجة حدث لا تؤثر على احتمال الآخر)، يمكنك معرفة احتمال حدوث كليهما بضرب احتمالاتهما. على سبيل المثال، لنفترض أن الأطفال يولدون إناثاً باحتمال 0.49 (وذكوراً باحتمال 0.51)، وأن الولادات مستقلة. إذا كان لدى زوجين طفلان، فإن احتمال أن يكونا بنتين هو 0.49*0.49، أو 0.49^2. الرمز ^ يمثل الأس (أي رفع رقم إلى قوة). \n\nإذا كان لدى زوجين ثلاثة أطفال، ما هو احتمال أن يكونوا جميعاً بنات؟ باستخدام نفس القاعدة كما في الأعلى، الإجابة هي 0.49^3. حاول كتابة ذلك أدناه. إذا كنت لا تحب رمز ^، يمكنك أيضاً كتابة 0.49*0.49*0.49. - كم عدد الطرق التي يمكن بها لثلاثة أصدقاء — أليس، بوب، وتشارلز — أن يرتبوا أنفسهم في صف؟ هناك ثلاث احتمالات لمن يذهب أولاً (A، B، أو C)، مضروبة في احتماليتين لمن يذهب ثانياً (لأنه لم يتبق سوى شخصين بعد أن وضعنا شخصاً في مقدمة الصف). الإجابة هي 3*2=6. + كم عدد الطرق التي يمكن بها لثلاثة أصدقاء — ليلى، كريم، ونبيل — أن يرتبوا أنفسهم في صف؟ هناك ثلاثة احتمالات لمن يذهب أولاً (ليلى أو كريم أو نبيل)، مضروبة في احتماليتين لمن يذهب ثانياً (لأنه لم يتبق سوى شخصين بعد أن وضعنا شخصاً في مقدمة الصف). الإجابة هي 3*2=6. \n\nكم عدد الطرق التي يمكن بها لأربعة أصدقاء أن يرتبوا أنفسهم في صف؟ باتباع نفس المنطق، سترى أن الإجابة هي 4*3*2. اتضح أن هذا النوع من الأرقام يظهر كثيراً في الاحتمالات والتوافيق، ويمكنك كتابته كـ 4! (تُقرأ "أربعة مضروب"). المحلل الرياضي يفهم المضروب: جرب كتابة 4! في الإجابة أدناه (أو اكتب 4*3*2، أو 24، أو أي شيء آخر يحلو لك). سترى كثيراً مصطلح "القيمة المتوقعة" في مسائل الاحتمالات. القيمة المتوقعة هي في الأساس متوسط مرجح بالاحتمالات. على سبيل المثال، دع X تمثل المبلغ الذي ستربحه في المرة القادمة التي تقامر فيها في كازينو. إذا كان X يمكن أن يأخذ فقط عدداً محدوداً من القيم، فإن القيمة المتوقعة لـ X، المكتوبة E[X]، هي ببساطة متوسط مرجح بالاحتمالات لقيمه الممكنة. (أنا أصف المتغيرات العشوائية المنفصلة؛ القيم المتوقعة للمتغيرات غير المنفصلة أكثر تعقيداً، لكننا سنترك ذلك جانباً الآن.) - \n\nدعنا نتخيل توزيعاً بسيطاً لـ X: باحتمال 70٪ ستخسر دولاراً (X=-1)؛ باحتمال 20٪، ستربح دولاراً (X=1)؛ وباحتمال 10٪ المتبقي، ستربح مكافأة ضخمة قدرها أربعة دولارات (X=4). القيمة المتوقعة لمكاسبك هي E[X] = 0.7*(-1) + 0.2*1 + 0.1*4 — وهذه هي إجابة هذا اللغز! ستجد أن مكاسبك المتوقعة سالبة، مما يعني أن الكازينو يربح في المتوسط. + \n\nدعنا نتخيل توزيعاً بسيطاً لـ X: باحتمال 70٪ ستخسر دولاراً (X=-1)؛ باحتمال 20٪، ستربح دولاراً (X=1)؛ وباحتمال 10٪ المتبقي، ستربح مكافأة ضخمة قدرها أربعة دولارات (X=4). القيمة المتوقعة لمكاسبك هي:\n\nE[X] = 0.7*(-1) + 0.2*1 + 0.1*4\n\nوهذه هي إجابة هذا اللغز! ستجد أن مكاسبك المتوقعة سالبة، مما يعني أن الكازينو يربح في المتوسط. الثابت الرياضي e — عدد أويلر — يظهر أحياناً في مسائل الاحتمالات. هناك عدة طرق للتعبير عن e؛ إحداها هي النهاية عندما N تؤول إلى ما لا نهاية من (1+1/N)^N. لن تراه كثيراً في هذا التطبيق، لكن هناك بعض الألغاز الأصعب التي تتضمن إجابتها e. لحسن الحظ، المحلل يفهم الثوابت الرياضية مثل e و pi. جرب كتابة e بحرف صغير في حقل الإجابة أدناه. - هنا مثال على حيلة تبسط لغزاً صعباً بخلاف ذلك. لنفترض أن أندرو وآني يلعبان لعبة تتضمن نرد سداسي: سيتناوبان على رمي النرد، وأول شخص يحصل على ستة يفوز. إذا بدأت آني أولاً، ما هو احتمال فوزها؟ بديهياً، يجب أن تكون لديها الأفضلية (لأنها قد تحصل على ستة في رميتها الأولى وتفوز فوراً، قبل أن يحصل المسكين أندرو حتى على فرصة للعب). لكن ما هو احتمال فوزها بالضبط؟ - \n\nيمكن حل هذا اللغز بجمع متسلسلة لا نهائية، لكن هناك طريقة أسهل. دع p تمثل احتمال أن يفوز لاعب في اللعبة إذا كان دوره في اللعب. احتمال فوزه فوراً هو 1/6. بالإضافة إلى ذلك، إذا لم تنته اللعبة بعد رميتين (بحيث يكون دوره مرة أخرى)، فإن احتمال فوزه لا يزال p. لذلك لدينا المعادلة التالية: p = (1/6) + (5/6)^2 * p، حيث (5/6)^2 هو احتمال عدم ظهور ستة مرتين متتاليتين. حل المعادلة لـ p لتجد احتمال فوز آني في اللعبة. + هنا مثال على حيلة تبسط لغزاً صعباً بخلاف ذلك. لنفترض أن أنور وأمل يلعبان لعبة تتضمن نرد سداسي: سيتناوبان على رمي النرد، وأول شخص يحصل على ستة يفوز. إذا بدأت أمل أولاً، ما هو احتمال فوزها؟ بديهياً، يجب أن تكون لديها الأفضلية (لأنها قد تحصل على ستة في رميتها الأولى وتفوز فوراً، قبل أن يحصل المسكين أنور حتى على فرصة للعب). لكن ما هو احتمال فوزها بالضبط؟ + \n\nيمكن حل هذا اللغز بجمع متسلسلة لا نهائية، لكن هناك طريقة أسهل. دع p تمثل احتمال أن يفوز لاعب في اللعبة إذا كان دوره في اللعب. احتمال فوزه فوراً هو 1/6. بالإضافة إلى ذلك، إذا لم تنته اللعبة بعد رميتين (بحيث يكون دوره مرة أخرى)، فإن احتمال فوزه لا يزال p. لذلك لدينا المعادلة التالية:\n\np = (1/6) + (5/6)^2 * p\n\nحيث (5/6)^2 هو احتمال عدم ظهور ستة مرتين متتاليتين. حل المعادلة لـ p لتجد احتمال فوز أمل في اللعبة. هنا مثال يستخدم الثابت الرياضي pi. تخيل دائرة محاطة داخل مربع: الدائرة لها قطر D، أضلاع المربع لها طول D، والدائرة والمربع متمركزان على نفس النقطة. \n\nإذا اخترت نقطة بشكل عشوائي موحد من المربع (تخيل سهماً تم رميه بشكل سيء، على سبيل المثال)، ما هو احتمال أن تقع النقطة داخل الدائرة؟ @@ -198,8 +192,6 @@ pi/4 - - two_heads_caesar socks @@ -238,68 +230,118 @@ - الإجابة هي (1/2)^2 أو 1/4. عندما يكون الحدثان A وB مستقلين، فإن Pr[A وB] = Pr[A]*Pr[B]. في هذه الحالة، يشير A إلى ظهور وجه في الرمية الأولى، وB إلى ظهور وجه في الرمية الثانية؛ كل ما عليك فعله هو ضرب احتمالاتهما. بديهيًا، تعني الاستقلالية أن نتيجة حدث واحد لا تؤثر على احتمالية الحدث الآخر: بغض النظر عما يحدث في الرمية الأولى، لا تزال فرصة ظهور وجه في الرمية الثانية متساوية. - بغض النظر عن الجورب الذي ترسمه أولاً، فإن فرصة أن يكون الجورب الثاني بنفس اللون هي رقم ما، وهو بالضبط الإجابة التي تبحث عنها. على سبيل المثال، افترض أنك ترسم الجورب الأحمر أولاً: بشرط أن يكون الجورب الأول أحمر، فإن احتمال أن يكون الجورب الثاني أحمر أيضًا هو 1 من 5. لاحظ أن هذا صحيح بغض النظر عن الجورب الذي ترسمه أولاً. راجع https://math.stackexchange.com/questions/2750340/whats-the-probability-of-choosing-two-socks-of-the-same-color-from-three-pairs للحصول على إجابة مفصلة. - إذا كانت A وB وC أحداثًا متبادلة الحصر - مثل الحصول على 2 أو 4 أو 6 - فلديك Pr[A أو B أو C] = Pr[A]+Pr[B]+Pr[C]. فقط اجمع هذه الاحتمالات الثلاثة. كل نتيجة فردية لها احتمال 1/6، وإضافة ثلاثة منها معًا يعطي... - هناك 6*6=36 زوجًا ممكنًا من النتائج، وكلها متساوية الاحتمالية. أي منها يبلغ مجموعها 12؟ يجب أن تحصل على 6 في كل من الرمية الأولى والثانية. هناك طريقة واحدة فقط لحدوث ذلك، لذا فإن الإجابة هي: - كما في السؤال الأول، تعني الاستقلالية أن Pr[A وB] = Pr[A]*Pr[B]. هذه المرة، A (B) هو الحدث الذي يكون فيه طفلك الأول (الثاني) أنثى. اضرب هذه الاحتمالات وستحصل على إجابتك. - دع A (B) يشير إلى الحدث الذي تكون فيه البطاقة الأولى (الثانية) آسًا. هذان الحدثان ليسا مستقلين، لذا تحتاج إلى حساب Pr[A وB] = Pr[A]*Pr[B|A]. Pr[A] هو احتمال أن تكون بطاقتك الأولى آسًا: أي 4/52. Pr[B|A] هو احتمال أن تكون بطاقتك الثانية آسًا، بشرط أن تكون الأولى آسًا (يعني الخط الرأسي \"بشرط\"). هل يمكنك معرفة ما هو ذلك؟ عند هذه النقطة، وبشرط الحدث أ، ستعرف أن هناك 51 بطاقة متبقية، منها 3 بطاقات آص. - لاحظ أن هناك طريقتين للحصول على بطاقة آص واحدة: إما على البطاقة الأولى، أو الثانية. هذه أحداث متبادلة الحصر، لذا لديك Pr[A أو B] = Pr[A] + Pr[B]، حيث A هو الحدث الذي تكون فيه البطاقة الأولى بطاقة آص والثانية ليست كذلك (وب هو العكس). حساب Pr[A] مشابه للسؤال السابق: إنه (4/40)*(36/39). ما هو Pr[B]؟ - هناك خدعة صغيرة هنا وهي أنه بغض النظر عن البطاقة التي تسحبها أولاً، فإن احتمال أن تكون البطاقة الثانية من نفس النوع هو… - من بين التفضيلات الستة المحتملة، ثلاثة فقط متوافقة مع اختيارها الأول. على سبيل المثال، بناءً على ما تعرفه، هناك احتمال صفري أن يفضل القرد اللون الأزرق على الأصفر على الأحمر، ولكن هناك احتمال 1/3 أن يفضل الأصفر على الأحمر على الأزرق. استوحيت هذه الأحجية من مقال في صحيفة نيويورك تايمز: انظر https://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08tier.html وعلى وجه التحديد المناقشة التي تلت الجملة "يقول الدكتور تشين إن نفور القرد من اللون الأزرق يمكن تفسيره تمامًا بالإحصاءات وحدها". - ضع كل الكرات الرخامية البيضاء في جرة واحدة (على اليسار)، وكل الكرات السوداء في الأخرى (على اليمين). لديك فرصة 50% للبقاء على قيد الحياة. الآن قم بإزالة كرة بيضاء واحدة من الجرة اليسرى وضعها على اليمين. هل تتحسن فرصك؟ - لاحظ أنه من بين الألعاب التي تنتهي بعد جولة واحدة (أي بعد أول رميتين للعملة، والتي لابد وأن تكون إما HT أو TH)، من المتوقع أن يفوز كل من بوب وأليس بنصف اللعبة. أما إذا كانت أول رميتين إما HH أو TT، فإننا نستمر إلى الجولة الثانية. وبشرط انتهاء اللعبة في الجولة الثانية، فإن احتمال فوز بوب وأليس متساوٍ مرة أخرى. هل لاحظت النمط؟ - لأي حدث A، Pr[A] = 1 - Pr[!A] حيث !A تعني \"ليس A\"، أي المكمل لـ A. في بعض الأحيان يكون من الأسهل حساب Pr[!A]، والذي في هذه الحالة هو احتمال أن يكون لدى جميع العائلات الخمسين طفل واحد على الأقل من كل جنس. ابدأ بحساب احتمال أن يكون لدى عائلة مكونة من 8 أفراد طفل واحد على الأقل من كل جنس - لنسمي ذلك p. إن استخدام خدعة "ليس أ" سيساعدك أيضًا في معرفة قيمة ص (انظر إلى الرسم البياني: تحتاج إلى طرح الاحتمالات الموجودة في أقصى اليسار وأقصى اليمين). ستكون إجابتك النهائية 1 - ص^50. - قبل أن يفعل مونتي أي شيء، فإن احتمالية أن يكون اختيارك الأولي صحيحًا هي 1/10. هل يتغير هذا بعد أن يُريك 8 ماعز؟ - عند رمي نردين عادلين، هناك 6*6 = 36 نتيجة محتملة، وكلها متساوية الاحتمالية. تهدف الصورة إلى التلميح إلى الحل دون الكشف عنه على الفور: تكون الدوائر أكثر سطوعًا عندما يكون مجموع الرميتين أقرب إلى سبعة. - إذا كان الجميع مثليين، فستكون الإجابة 0.9، بينما إذا كان الجميع مستقيمين، فستكون الإجابة 0.1. في الموقف الذي نفكر فيه، تكون الإجابة عبارة عن متوسط ​​مرجح لهذين الرقمين. هل تفهم السبب؟ - تتمثل إحدى الطرق المباشرة لحساب احتمالية فوز أحد النردين على الآخر في وضع شرط على نتيجة إحدى رمياتهما. على سبيل المثال، إذا جاءت النتيجة 2 للنرد الأحمر، فهناك احتمال 0/3 أن يتغلب على الأزرق؛ ولكن إذا جاءت النتيجة 4، فإن احتمالية فوزه 1/3. ماذا لو جاءت النتيجة 9 للنرد الأحمر؟ هل ترى كيف أن أخذ متوسط ​​هذه الاحتمالات الشرطية سيعطيك الإجابة الصحيحة؟ راجع https://en.wikipedia.org/wiki/Intransitive_dice وhttp://singingbanana.com/dice/article.htm للحصول على شرح مفصل. - التلميح الأول هو إظهار كيفية حساب متوسط ​​العمر المتوقع عند الولادة: 0.2*(1 + 6 + 20 + 50 + 80) = 31.4. كيف يمكنك تعديل ذلك للحصول على الإجابة التي نبحث عنها؟ إن احتمالات الوفاة قبل سن الثلاثين يجب أن تكون صفرًا إذا ما تم ربطها بالبقاء على قيد الحياة حتى سن الثلاثين. ماذا عن احتمالات الوفاة (المشروطة) بين سن السبعين والتسعين؟ الأرقام في هذا اللغز مختلقة، ولكنها تهدف إلى أن تكون واقعية إلى حد ما ــ راجع https://www.bbc.com/future/article/20181002-how-long-did-ancient-people-live-life-span-versus-longevity لمناقشة أكثر تفصيلاً لأعمار الناس في روما القديمة. - التوقع هو في الأساس متوسط. إذا خمنت 1000 دولار، على سبيل المثال، فإن فرصتك في أن تكون صحيحة هي 0.01، لذا فإنك ستربح 0.01 * 1000 + 0.99 * 0 = 10 دولارات في المتوسط. ستجد أن الإجابة ليست المبلغ الأكثر احتمالاً (0 دولار)، ولا الأكبر (1000 دولار)! - إذا كان p هو احتمال تقدم المتقدمات الإناث إلى القسم أ، فإن احتمال تقدمهن إلى القسم ب هو بالضرورة (1 - p)، لأننا نفترض أن كل متقدم يختار قسمًا واحدًا فقط. هل يمكنك التعبير عن معدل قبول النساء الإجمالي كدالة لـ p ومعدلي قبولهن الخاصين بالقسمين (أي 0.5 في القسم أ و0.2 في القسم ب)؟ - كما هو الحال في مسائل النردين السابقتين، هناك 36 نتيجة محتملة، وكلها متساوية الاحتمال. كل ما عليك فعله هو حساب النتائج التي تسمح للأسود بأكل قطعة الأبيض، مع التأكد من عدم العد المزدوج. يوضح الشكل حركتين محتملتين (قفزة من 6 خطوات، أو 4 متبوعة بـ 2)، ولكن هناك المزيد. - لدى T طريق واحد للفوز: فهو يحتاج إلى الناخبين 3 و4 للتصويت له. وبالتالي فإن احتمال فوز C يساوي واحدًا ناقصًا احتمال أن يختار الناخبان 3 و4 كلاهما منافسها. يخبرك السؤال أن Pr[يختار الناخبان 3 و4 كلاهما C] = 0.6*2/3 = 0.4. هل يمكنك معرفة Pr[يختار الناخبان 3 و4 كلاهما T]؟ حاول ملء جدول الاحتمالات 2 × 2 في أسفل اللغز. كل ناخب لديه احتمال بنسبة 60% لاختيار C، مما يعني أن صف C وعمود C في الجدول يجب أن يساوي كل منهما 0.6؛ وبالمثل، يجب أن يساوي كل من صف وعمود T 0.4. كما خمنت على الأرجح، استُلهم هذا اللغز من الانتخابات الرئاسية لعام 2016 في الولايات المتحدة، وبشكل أكثر تحديدًا من https://fivethirtyeight.com/features/election-update-why-our-model-is-more-bullish-than-others-on-trump/ و https://fivethirtyeight.com/features/why-fivethirtyeight-gave-trump-a-better-chance-than-almost-anyone-else/ -- النقطة المتعلقة بالارتباط في أخطاء استطلاعات الرأي بين الولايات الأمريكية تشبه إلى حد ما الارتباط بين الناخبين في هذا اللغز البسيط. - طلب لغز سابق احتمالية وجود فتاتين (من بين طفلين): هذا الاحتمال هو 0.49^2. ما أبحث عنه هنا هو احتمالية وجود فتاتين بشرط وجود فتاة واحدة على الأقل (أي عدم وجود ولدين). نظرًا لأن احتمال إنجاب ولدين هو 0.51^2، فإن احتمال إنجاب فتاة واحدة على الأقل هو 1-0.51^2. هل يمكنك الجمع بين هاتين المعلومتين للحصول على الإجابة؟ - ستذهب للركض إذا لم يتم اختيارك للسباحة. واحتمال عدم اختيارك كأول شخص هو 49/50. ونظرًا لعدم اختيارك كأول شخص، فإن احتمال عدم اختيارك كثانٍ هو 48/49. لاحظ أن Pr[لم يتم اختيارك أولاً ولم يتم اختيارك ثانيًا] = 48/50، أي أن الرقمين 49 و49 يلغي أحدهما الآخر. وستحصل في النهاية على إجابة بديهية وبسيطة للغاية. - قد تكون الإجابة أكثر وضوحًا إذا تخيلت عددًا كبيرًا من صناديق الاستثمار. لنفترض أن هناك 1000 شركة: في المتوسط، سيتفوق 400 منها على السوق ويستمرون في العمل، وسيحقق 300 منها أداءً أقل من المتوقع ويستمرون في العمل، وسيحقق 300 منها أداءً أقل من المتوقع ويخرجون. من بين الشركات التي تستمر في العمل، ما هي النسبة التي ستتفوق على السوق؟ - قاعدة بايز للاحتمالات الشرطية هي Pr[A | B] = Pr[A and B] / Pr[B]. يعني الشريط الرأسي \"بشرط\"، وPr[A | B] هو احتمال حدوث A بشرط حدوث B (أي أننا نلاحظ B ونتساءل عن مدى احتمالية حدوث A، بشرط ما نعرفه). ماذا يمكننا أن نقول عن Pr[A | B] وPr[B | أ] بافتراض أن Pr[A] = Pr[B]؟ - احتمال أن يكون طول القطعة اليمنى أقل من L يساوي احتمال أن يكون طول القطعة اليسرى أكبر من (1 - L)، وهو ببساطة 1 - (1 - L) = L. بالتناظر، إذن، يجب أن يكون متوسط ​​أطوال القطعتين اليسرى واليمنى متساويين، أي E[طول القطعة اليسرى] = E[طول القطعة اليمنى] حيث يشير E إلى التوقع. علاوة على ذلك، يجب أن يصل مجموع هاتين القيمتين المتوقعتين إلى الطول الإجمالي 1. هل ترى كيف يعطي هذا الإجابة؟ - لكي يشير عقرب الساعات إلى 2 بعد 3 ساعات، يجب أن يكون قد علق مرة واحدة بالضبط (وتحرك بشكل صحيح مرتين). والمفتاح هو إدراك وجود ثلاث طرق مختلفة يمكن أن يحدث بها ذلك: العلق-الحركة-الحركة، أو الحركة-العلق-الحركة أو الحركة-الحركة-العلق. ما هو احتمال كل تسلسل؟ إن جمع هذه الاحتمالات يعطي الإجابة. - يطلب السؤال معرفة احتمالية اتصالك بثلاثة ناخبين غير حاسمين، مؤيد واحد ومعارض واحد - بغض النظر عن الترتيب. لتبسيط الأمر، احسب احتمالية الاتصال بالأشخاص بترتيب معين (على سبيل المثال U-U-U-S-O)، ثم اضرب هذا الاحتمال في عدد عمليات إعادة الترتيب المحتملة لهذا التسلسل (على سبيل المثال U-U-U-O-S هو ترتيب محتمل آخر، وكذلك O-U-U-S-U). اتضح أن هناك 20 طريقة لإعادة ترتيب التسلسل - هل يمكنك معرفة سبب ذلك؟ - افترض أنك اخترت حرفًا بشكل عشوائي وموحد، بغض النظر عما يفعله صديقك. سيفكر صديقك في بعض الحروف، على سبيل المثال Z: مشروطًا باختياره، تكون فرصتك في التخمين بشكل صحيح 1/26. في الواقع، سيكون هذا صحيحًا بغض النظر عن الحرف الذي تختاره، وبالتالي بغض النظر عن سياستها في اختيار الحروف. - فكر في أحد الجنسين باعتباره في ترتيب ثابت - على سبيل المثال، لنفترض أن البنات مرتبة (G1، G2، ...، G5). كل ما علينا فعله لإقران كل فتاة بصبي هو التوصل إلى ترتيب للأولاد الخمسة؛ ثم نقوم بإقران G1 بالولد الأول في قائمة الأولاد، وG2 بالولد الثاني في قائمة الأولاد، وما إلى ذلك. كم عدد الطرق لإعادة ترتيب (أي تبديل) الأولاد الخمسة؟ يمكن التعبير عن الإجابة بسهولة باستخدام عامل، أي N! لبعض الأعداد الصحيحة N. - يمكن التعبير عن الإجابة بسهولة باستخدام العوامل. أحد الأساليب هو البدء بـ 12! - أي عدد الطرق لترتيب 12 شخصًا - ثم القسمة على عدد الطرق التي يمكن بها إعادة ترتيب الأشخاص داخل الفرق. طريقة أخرى هي البدء بـ C(12, 4)، أي عدد الطرق التي يمكن بها تعيين الأشخاص في الفريق A، ثم الضرب في عدد الطرق التي يمكن بها تعيين الأشخاص الثمانية المتبقين في الفريقين B وC. - هناك 6! طرق لترتيب 6 أشخاص في صف واحد، وهناك 10 طرق ليكون الشخص A والشخص B بجوار بعضهما البعض. لكل من هذه التكوينات العشر حيث يكون A وB متجاورين، كم عدد الطرق التي يمكنك بها ترتيب الأشخاص الأربعة المتبقين؟ - التوصل إلى هذه الإستراتيجية أمر صعب، ولكن الآن بعد أن تعرفت عليها، يجب أن يكون من السهل إيجاد احتمال فوز المجموعة. من المثير للاهتمام أن الاحتمال أكبر بكثير من 50%. ستخسر المجموعة إذا كانت جميع القبعات بيضاء (لأن كل فرد سوف يلاحظ قبعتين بيضاوين ويخمن أن قبعته سوداء)؛ وبالمثل، ستخسر المجموعة إذا كانت جميع القبعات سوداء. احتمال أن تكون جميع القبعات من نفس اللون هو 2*(1/2)^3 = 1/4. هل يخمن الفريق بشكل صحيح في جميع الحالات الأخرى؟ كمكافأة، فكر فيما إذا كانت هناك أي استراتيجية أفضل (أي استراتيجية ذات احتمالية أعلى للفوز). - نظرًا لعدم وجود خطين متوازيين (ولا تتقاطع ثلاثة خطوط في نقطة واحدة)، فإن أي اختيار لثلاثة خطوط سينتج عنه مثلث. كم عدد الطرق المتاحة لاختيار مجموعة فرعية من ثلاثة أشياء من مجموعة مكونة من سبعة؟ يمكن التعبير عن الإجابة على النحو التالي \"N choose K\" أو C(N,K). ألق نظرة على https://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html إذا لم تكن قد رأيت معاملات ثنائية من قبل، وتذكر أنه يمكنك كتابة تعبيرات مثل C(5,3) وسيفهمها محلل الرياضيات في التطبيق. للحصول على إجابة مفصلة على لغز مماثل، راجع https://www.nytimes.com/2019/08/21/science/math-equation-triangles-pemdas.html -- ولكن حاول حل هذا اللغز بنفسك أولاً! - ومن المثير للاهتمام أنه يمكنك القيام بعمل أفضل من احتمال 1/3 لتوظيف أفضل مرشح. (هناك العديد من الاستراتيجيات التي قد تعطيك احتمالية 1/3: على سبيل المثال، يمكنك دائمًا تعيين أول شخص تجري معه مقابلة.) ضع في اعتبارك قاعدة تقضي دائمًا بإجراء مقابلة مع أول شخصين. من الواضح أنه إذا كان المرشح الثاني أسوأ من الأول، فيجب عليك رفضه (لأن كل ما يهمك هو تعيين أفضل شخص). هل ترى إلى أي استراتيجية يؤدي هذا؟ إذا كنت ترغب في قراءة حل أكثر تفصيلاً لإصدار عام من هذه المشكلة، فراجع https://math.stackexchange.com/questions/45266/secretary-problem-why-is-the-optimal-solution-optimal. ضع في اعتبارك أن الاستراتيجية المثلى تعتمد على هدفك، والذي في هذه الحالة يتمتع بجودة "الكل أو لا شيء". راجع اللغز 17 في قسم "التعامل بجدية" لمشكلة قرار ذات صلة بدالة مكافأة مختلفة تمامًا. + الجواب (1/2)^2 أو 1/4. عندما يكون الحدثان A وB مستقلين، فإن:\n\nPr[A and B] = Pr[A]*Pr[B]\n\nهنا A هو ظهور وجه في الرمية الأولى، وB وجه في الثانية؛ كل ما عليك ضرب احتمالَيهما. حدسيًا، يعني الاستقلال أن نتيجة أحد الحدثين لا تؤثّر في احتمال الآخر: مهما حدث في الرمية الأولى، تبقى للثانية فرصة النصف للوجه. + مهما كان الجورب الذي تسحبه أولًا، فاحتمال أن يكون الثاني من اللون نفسه هو… عدد ما، وهو تحديدًا الجواب الذي تبحث عنه. مثلًا، افترض أنك سحبت أحمر أولًا: بشرط أن يكون الأول أحمر، احتمال أن يكون الثاني أحمر أيضًا هو 1 من 5. لاحظ أن هذا صحيح مهما كان الجورب الأول. انظر https://math.stackexchange.com/questions/2750340/whats-the-probability-of-choosing-two-socks-of-the-same-color-from-three-pairs لإجابة مفصّلة. + إذا كانت A وB وC أحداثًا متنافية — مثل ظهور 2 أو 4 أو 6 — فإن:\n\nPr[A or B or C] = Pr[A]+Pr[B]+Pr[C]\n\nاجمع تلك الاحتمالات الثلاثة فحسب. لكل نتيجة فردية احتمال 1/6، وجمع ثلاثة منها يعطي… + هناك 6*6=36 زوجًا ممكنًا من النتائج، جميعها متساوية الاحتمال. أيّها يجمع إلى 12؟ عليك الحصول على 6 في الرمية الأولى والثانية معًا. هناك طريقة واحدة فقط لذلك، فالجواب هو… + كما في السؤال الأول، يعني الاستقلال أن:\n\nPr[A and B] = Pr[A]*Pr[B]\n\nهذه المرة A (B) هو حدث أن يكون طفلك الأول (الثاني) بنتًا. اضرب هذين الاحتمالين تحصل على جوابك. + ليكن A (B) حدث أن تكون الورقة الأولى (الثانية) آصًا. هذان الحدثان ليسا مستقلين، فعليك حساب:\n\nPr[A and B] = Pr[A]*Pr[B|A]\n\nالاحتمال Pr[A] هو احتمال أن تكون ورقتك الأولى آصًا: أي 4/52. والاحتمال Pr[B|A] هو احتمال أن تكون ورقتك الثانية آصًا بشرط أن الأولى كانت آصًا (الشرطة العمودية تعني «بشرط»). أتستطيع معرفة قيمته؟ عند تلك النقطة، بشرط الحدث A، تعلم أنه بقيت 51 ورقة، منها 3 آصات. + لاحظ أن هناك طريقتين للحصول على آص واحد: إما في الورقة الأولى أو الثانية. وهما حدثان متنافيان، إذن:\n\nPr[A or B] = Pr[A] + Pr[B]\n\nحيث A حدث أن تكون الأولى آصًا والثانية ليست كذلك (وB العكس). حساب Pr[A] مشابه للسؤال السابق: إنه (4/40)*(36/39). فما Pr[B]؟ + الحيلة هنا أنه مهما كانت الورقة التي تسحبها أولًا، فاحتمال أن تكون الثانية من النوع نفسه هو… + من بين التفضيلات الستة الممكنة، ثلاثة فقط متوافقة مع اختياره الأول. مثلًا، بناءً على ما تعرفه، احتمال أن يفضّل القرد الأزرق ثم الأصفر ثم الأحمر هو صفر، لكن هناك احتمال 1/3 أن يفضّل الأصفر ثم الأحمر ثم الأزرق. استُلهم هذا اللغز من مقال في نيويورك تايمز: انظر https://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08tier.html وتحديدًا النقاش الذي يلي القول بأن نفور القرد من الأزرق يمكن تفسيره بالإحصاء وحده. + ضع كل الكرات البيضاء في وعاء (يسار) وكل السوداء في الآخر (يمين). فرصتك في النجاة مناصفةً. الآن انقل كرة بيضاء واحدة من الوعاء الأيسر إلى الأيمن. هل تتحسّن فرصك؟ + لاحظ أنه من بين المباريات التي تنتهي بعد جولة واحدة (أي بعد أول رميتين، اللتين كانتا إما HT أو TH؛ حيث H تعني «صورة» و T تعني «كتابة»)، يُتوقّع أن يفوز كريم وليلى بالنصف لكلٍّ منهما. أما إن كانت أول رميتين HH أو TT فنكمل إلى الجولة الثانية. وبشرط أن تنتهي المباراة في الجولة الثانية، يتساوى كريم وليلى مجددًا في احتمال الفوز. أتلاحظ النمط؟ + لأي حدث A، لدينا:\n\nPr[A] = 1 - Pr[!A]\n\nحيث !A تعني «ليس A»، أي مكمّل A. أحيانًا يسهل حساب Pr[!A]، وهو هنا احتمال أن يكون لدى كل العائلات الخمسين طفل واحد على الأقل من كل جنس. ابدأ بإيجاد احتمال أن يكون لدى عائلة من 8 أشخاص طفل واحد على الأقل من كل جنس — سمِّه p. (استخدام حيلة «ليس A» سيساعدك في إيجاد p أيضًا: انظر إلى المدرّج، إذ عليك طرح الاحتمالين في أقصى اليسار وأقصى اليمين.) جوابك النهائي سيكون 1 - p^50. + قبل أن يفعل مونتي أي شيء، احتمال أن يكون اختيارك الأول صحيحًا هو 1/10. هل يتغيّر ذلك بعد أن يُريك 8 ماعز؟ + عند رمي نردين عادلين هناك 6*6 = 36 نتيجة ممكنة، جميعها متساوية الاحتمال. القصد من الصورة الإيحاء بالحل دون كشفه فورًا: تزداد الدوائر سطوعًا كلما اقترب مجموع الرميتين من سبعة. + لو كان الجميع يفضّلون العمل مع الجنس نفسه لكان الجواب 0.9، ولو كان الجميع يفضّلون العمل مع الجنسين لكان 0.1. في الوضع الذي نفكّر فيه، الجواب متوسط مرجّح لهذين العددين. أتفهم لماذا؟ + طريقة مباشرة لحساب احتمال أن يتفوّق نرد على آخر هي المشارطة على نتيجة إحدى رمياته. مثلًا، إن أظهر النرد الأحمر 2 فهناك احتمال 0/3 أن يتفوّق على الأزرق؛ لكن إن أظهر 4 فله احتمال 1/3. وماذا لو أظهر الأحمر 9؟ أترى كيف أن أخذ متوسط تلك الاحتمالات الشرطية يعطيك الجواب الصحيح؟ انظر https://en.wikipedia.org/wiki/Intransitive_dice و http://singingbanana.com/dice/article.htm لشرح مفصّل. + تلميح أول هو بيان كيفية حساب أمل الحياة عند الولادة:\n\n0.2*(1 + 6 + 20 + 50 + 80) = 31.4\n\nكيف يمكنك تعديل ذلك للحصول على الجواب المطلوب؟ بشرط النجاة حتى سن 30، لا بد أن يكون احتمال الوفاة قبل 30 صفرًا. وماذا عن الاحتمال (الشرطي) للوفاة بين 70 و90؟ الأرقام في هذا اللغز مختلَقة، لكنها مقصودة لتكون شبه واقعية — انظر https://www.bbc.com/future/article/20181002-how-long-did-ancient-people-live-life-span-versus-longevity لنقاش أكثر تفصيلًا حول أعمار الناس في روما القديمة. + التوقّع أساسًا متوسط. لو خمّنت 1000 دولار مثلًا، فلديك احتمال 0.01 للإصابة، فتربح 0.01 * 1000 + 0.99 * 0 = 10 دولارات في المتوسط. ستجد أن الجواب ليس المبلغ الأرجح (0 دولار) ولا الأكبر (1000 دولار)! + إذا كان p احتمال أن تتقدّم المتقدّمات إلى القسم A، فاحتمال تقدّمهنّ إلى القسم B هو بالضرورة (1 - p)، لأننا نفترض أن كل متقدّمة تختار قسمًا واحدًا بالضبط. أتستطيع التعبير عن معدّل القبول الإجمالي للنساء كدالة في p وفي معدّلي القبول الخاصّين بالقسمين (أي 0.5 في A و0.2 في B)؟ + كما في مسألتي النردين السابقتين، هناك 36 نتيجة ممكنة متساوية الاحتمال. كل ما عليك عدّ النتائج التي تتيح للسوداء أكل قطعة البيضاء، مع الحرص على عدم العدّ المزدوج. يبيّن الشكل حركتين ممكنتين (قفزة بـ6 خطوات، أو 4 يتبعها 2)، لكن هناك أكثر من ذلك بكثير. + أمام T مسار وحيد للفوز: يحتاج أن يصوّت له الناخبان 3 و4. لذا فاحتمال فوز C هو واحد ناقص احتمال أن يصوّت الناخبان 3 و4 كلاهما لخصمها. يخبرك السؤال أن:\n\nPr[الناخبان 3 و4 يختاران C] = 0.6*2/3 = 0.4\n\nحيث Pr تعني الاحتمال (probability). أتستطيع إيجاد Pr[الناخبان 3 و4 يختاران T]؟ جرّب ملء جدول الاحتمالات 2×2 أسفل اللغز. لكل ناخب احتمال 60٪ لاختيار C، ما يعني أن صف C وعمود C في الجدول يجمع كلٌّ منهما إلى 0.6؛ وبالمثل صف T وعموده يجمع كلٌّ منهما إلى 0.4. استُلهم هذا اللغز من انتخابات الرئاسة الأمريكية 2016، وتحديدًا من https://fivethirtyeight.com/features/election-update-why-our-model-is-more-bullish-than-others-on-trump/ و https://fivethirtyeight.com/features/why-fivethirtyeight-gave-trump-a-better-chance-than-almost-anyone-else/ — والفكرة حول ارتباط أخطاء الاستطلاع بين الولايات مشابهة نوعًا ما للارتباط بين الناخبين في هذا اللغز البسيط. + سأل لغز سابق عن احتمال وجود بنتين (من طفلين): ذلك الاحتمال هو 0.49^2. ما أبحث عنه هنا هو احتمال وجود بنتين بشرط وجود بنت واحدة على الأقل (أي عدم وجود ولدين). وبما أن احتمال وجود ولدين هو 0.51^2، فاحتمال وجود بنت واحدة على الأقل هو 1-0.51^2. أتستطيع جمع هذه المعطيات للحصول على الجواب؟ + ستذهب للجري إن لم تُختَر للسباحة. احتمال ألّا تُختار شخصًا أول هو 49/50. وبشرط ألّا تُختار أولًا، احتمال ألّا تُختار ثانيًا هو 48/49. لاحظ أن:\n\nPr[لم تُختَر أولًا ولا ثانيًا] = 48/50\n\nحيث Pr تعني الاحتمال (probability)، أي أن العددين 49 يختصران. ستنتهي بجواب بديهي وبسيط جدًا. + قد يتّضح الجواب أكثر إن تخيّلت عددًا كبيرًا من صناديق الاستثمار. لنفترض أن هناك 1000 منها: في المتوسط، 400 ستتفوّق على السوق وتستمر، و300 سيكون أداؤها أضعف وتستمر، و300 المتبقية سيكون أداؤها أضعف وتخرج. من بين المستمرة، ما نسبة التي تفوّقت على السوق؟ + قاعدة بايز للاحتمالات الشرطية هي:\n\nPr[A | B] = Pr[A and B] / Pr[B]\n\nالشرطة العمودية تعني «بشرط»، وPr[A | B] هو احتمال A بشرط وقوع B (أي نلاحظ B ونتساءل عن مدى احتمال A بناءً على ما نعرف). ماذا يمكننا قوله عن Pr[A | B] وPr[B | A] بافتراض أن Pr[A] = Pr[B]؟\n\nحيث:\nPr[A | B]، احتمال[وقوع A بشرط وقوع B]\nPr[B | A]، احتمال[وقوع B بشرط وقوع A]\nPr[A]، احتمال[وقوع A]\nPr[B]، احتمال[وقوع B] + احتمال أن يكون طول القطعة اليمنى أقل من L يساوي احتمال أن يكون طول القطعة اليسرى أكبر من (1 - L)، أي ببساطة 1 - (1 - L) = L. بالتناظر إذن، لا بد أن يتساوى متوسطا طولَي القطعتين اليسرى واليمنى، أي:\n\nE[طول اليسرى] = E[طول اليمنى]\n\nحيث E يرمز للتوقّع (expectation). وعلاوة على ذلك، لا بد أن يجمع هذان التوقّعان إلى الطول الكلي 1. أترى كيف يعطي ذلك الجواب؟ + كي يشير عقرب الساعات إلى 2 بعد 3 ساعات، عليه أن يكون قد عَلِق مرة واحدة بالضبط (وتحرّك بشكل صحيح مرتين). المفتاح هو إدراك وجود ثلاث طرق مختلفة لحدوث ذلك: عالق-تحرّك-تحرّك، أو تحرّك-عالق-تحرّك، أو تحرّك-تحرّك-عالق. ما احتمال كل تسلسل؟ جمع تلك الاحتمالات يعطي الجواب. + يطلب السؤال احتمال أن تتصل بـ3 ناخبين مترددين وداعم واحد وخصم واحد — بغضّ النظر عن الترتيب. للتبسيط، احسب احتمال الاتصال بالأشخاص بترتيب محدّد (مثلًا م-م-م-د-خ)، ثم اضرب ذلك الاحتمال بعدد الترتيبات الممكنة للتسلسل (مثلًا م-م-م-خ-د ترتيب آخر ممكن، وكذلك خ-م-م-د-م). يتّضح أن هناك 20 طريقة لإعادة ترتيب التسلسل — أتستطيع معرفة السبب؟ + افترض أنك تختار حرفًا بشكل عشوائي منتظم، باستقلال عمّا تفعله صديقتك. ستفكّر صديقتك بحرف ما، مثلًا Z: بشرط اختيارها، فرصتك في التخمين الصحيح 1/26. وفي الواقع سيكون هذا صحيحًا أيًّا كان الحرف الذي تختاره، وبالتالي أيًّا كانت سياستها في اختيار الحروف. + تخيّل أحد الجنسين بترتيب ثابت — مثلًا لنقل إن البنات مرتّبات (G1، G2، ... ، G5). كل ما علينا فعله لإقران كل بنت بولد هو إيجاد ترتيب للأولاد الخمسة؛ ثم نقرن G1 بالولد الأول في قائمة الأولاد، وG2 بالثاني، وهكذا. كم طريقة لإعادة ترتيب (تبديل) الأولاد الخمسة؟ الجواب يُعبَّر عنه بسهولة بمضروب، أي N! لعدد صحيح N. + يُعبَّر عن الجواب بسهولة بالمضروبات. أحد النهجين أن تبدأ بـ12! — أي عدد طرق ترتيب 12 شخصًا — ثم تقسم على عدد طرق إعادة ترتيب الأشخاص داخل المجموعات. وطريقة أخرى أن تبدأ بـC(12, 4)، أي عدد طرق إسناد أشخاص للمجموعة A، ثم تضرب بعدد طرق إسناد الأشخاص الثمانية الباقين للمجموعتين B وC. + هناك 6! طريقة لاصطفاف 6 أشخاص في خط، وهناك 10 طرق لأن يكون الشخص A والشخص B جنبًا إلى جنب. لكلٍّ من تلك التهيئات العشر التي يكون فيها A وB متجاورين، كم طريقة لترتيب الأشخاص الأربعة الباقين؟ + ابتكار هذه الاستراتيجية صعب، لكن — والآن وقد عرفتها — يفترض أن يسهل إيجاد احتمال فوز المجموعة. والمثير أن الاحتمال أكبر بكثير من 50٪. ستخسر المجموعة إن كانت كل القبّعات بيضاء (لأن كلًّا سيرى قبّعتين بيضاوين فيخمّن أن قبّعته سوداء)؛ وبالمثل تخسر إن كانت كلها سوداء. احتمال أن تكون كل القبّعات من اللون نفسه هو 2*(1/2)^3 = 1/4. أيخمّن الفريق بشكل صحيح في كل الحالات الأخرى؟ وكمكافأة، فكّر فيما إذا كانت هناك استراتيجية أفضل (أي باحتمال فوز أعلى). + بما أنه لا يوجد خطّان متوازيان (ولا ثلاثة خطوط تتقاطع في نقطة واحدة)، فإن أي اختيار لثلاثة خطوط سيكوّن مثلثًا. كم طريقة لاختيار مجموعة جزئية من ثلاثة عناصر من مجموعة من سبعة؟ يُعبَّر عن الجواب بمعامل ذي الحدّين: «N اختر K» أو C(N,K). انظر https://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html إن لم تكن قد رأيت المعاملات ذات الحدّين من قبل، وتذكّر أنك تستطيع كتابة عبارات مثل C(5,3) وسيفهمها محلّل التطبيق الرياضي. لإجابة مفصّلة عن لغز مشابه، انظر https://www.nytimes.com/2019/08/21/science/math-equation-triangles-pemdas.html — لكن حاول حلّ هذا بنفسك أولًا! + من المثير أنك تستطيع تحقيق أفضل من احتمال 1/3 لتوظيف الأفضل. (هناك عدة استراتيجيات تعطي 1/3: مثلًا يمكنك دائمًا توظيف أول من تقابله.) تأمّل قاعدة تقابل بموجبها أول شخصين دائمًا. من الواضح أنه إن كان المرشّح الثاني أسوأ من الأول فعليك رفضه (إذ كل ما يهمّك توظيف الأفضل). أترى إلى أي استراتيجية يقود ذلك؟ إن أردت قراءة حل أكثر تفصيلًا لنسخة معمَّمة من المسألة، انظر https://math.stackexchange.com/questions/45266/secretary-problem-why-is-the-optimal-solution-optimal. تذكّر أن الاستراتيجية المثلى تعتمد على هدفك، الذي له هنا طابع «الكل أو لا شيء». انظر اللغز 17 في قسم «يزداد جدية» لمسألة قرار ذات صلة بدالة عائد مختلفة جدًا. - إذا رميت عملة معدنية عادلة مرتين، ما هو احتمال الحصول على وجهين في كلتا المرتين؟ - لديك ثلاثة أزواج من الجوارب: زوج أحمر، وزوج أزرق، وزوج أخضر. تسحب جورباً عشوائياً، ثم تسحب جورباً آخر. ما هو احتمال أن يكون الجوربان من نفس اللون؟ - عند رمي نرد عادل، ما هو احتمال الحصول على رقم زوجي (2 أو 4 أو 6)؟ - عند رمي نردين عادلين، ما هو احتمال الحصول على مجموع 12؟ - إذا كان احتمال ولادة طفلة هو 0.49، ما هو احتمال أن يكون لديك بنتان عند إنجاب طفلين؟ - في لعبة ورق من 52 بطاقة، ما هو احتمال سحب آسين متتاليين؟ - في مجموعة من 40 بطاقة، ما هو احتمال سحب آس واحد بالضبط في أول بطاقتين؟ - في مجموعة من 52 بطاقة، ما هو احتمال أن تكون البطاقة الثانية التي تسحبها من نفس لون البطاقة الأولى؟ - قرد يختار بين ثلاثة أنواع من التوت: أحمر وأصفر وأزرق. في المحاولة الأولى، اختار القرد التوت الأصفر على الأحمر. ما هو احتمال أن يفضل القرد الأحمر على الأزرق؟ - أمامك وعاءان، كل منهما يحتوي على 50 كرة سوداء وبيضاء. يجب أن تسحب كرة عشوائياً من أحد الوعاءين: إذا سحبت كرة بيضاء تنجو، وإذا سحبت كرة سوداء تموت. في البداية، الوعاء الأيسر يحتوي على 50 كرة بيضاء و 50 سوداء، والوعاء الأيمن يحتوي على 49 بيضاء و 51 سوداء. ما هو احتمال نجاتك إذا اخترت الوعاء عشوائياً؟ - بوب وأليس يلعبان لعبة برمي عملة معدنية عادلة. يرمي بوب أولاً، ثم أليس. إذا حصل أحدهما على وجه (H) والآخر على كتابة (T)، فإن الشخص الذي حصل على وجه يفوز. إذا حصل كلاهما على نفس النتيجة، يكرران اللعب. ما هو احتمال فوز أليس؟ - في مدينة كبيرة، هناك 50 عائلة، كل منها لديها 8 أطفال. ما هو احتمال أن تكون هناك على الأقل عائلة واحدة لديها إما كل البنين أو كل البنات؟ - في لعبة مونتي هول المعدلة، هناك 10 أبواب. خلف أحدها سيارة، وخلف التسعة الباقية ماعز. تختار باباً، ثم يفتح مونتي 8 أبواب أخرى، كلها تحتوي على ماعز. هل تريد تغيير اختيارك؟ ما هو احتمال الفوز إذا بقيت مع اختيارك الأول؟ - عند رمي نردين عادلين، ما هو احتمال الحصول على مجموع 7؟ - في مجموعة معينة، 5٪ من الناس مثليون و 95٪ مغايرون. عندما يُسأل شخص عن توجهه الجنسي، يجيب بصدق 90٪ من المثليين و 10٪ من المغايرين يكذبون. إذا أجاب شخص بأنه مثلي، ما هو احتمال أنه يكذب؟ - لديك ثلاثة نرود: أحمر وأزرق وأخضر. النرد الأحمر لديه الأرقام 2، 2، 4، 4، 9، 9. النرد الأزرق لديه 1، 1، 6، 6، 8، 8. النرد الأخضر لديه 3، 3، 5، 5، 7، 7. عند رمي النرد الأحمر والأزرق، ما هو احتمال أن يكون الرقم على النرد الأحمر أكبر؟ - في روما القديمة، من بين كل 100 شخص يولدون، 20 يموتون قبل سن الأولى، 12 يموتون بين 1 و 5 سنوات، 28 يموتون بين 5 و 30 سنة، 20 يموتون بين 30 و 70 سنة، و 20 يموتون بين 70 و 90 سنة. إذا عشت حتى سن 30، ما هو متوسط العمر المتوقع لك؟ - أنت تلعب لعبة تخمين. يختار شخص ما رقماً عشوائياً بين 0 و 1000 دولار (بزيادات دولار واحد). إذا خمنت الرقم الصحيح، تربح المبلغ بالدولار. ما هو المبلغ الذي يجب أن تخمنه لتعظيم أرباحك المتوقعة؟ - في قسم A، يتم قبول 50٪ من المتقدمات. في قسم B، يتم قبول 20٪ من المتقدمات. إذا تقدمت كل امرأة إلى قسم واحد فقط، وكان معدل القبول الإجمالي للنساء هو 30٪، ما هو احتمال أن تتقدم امرأة عشوائية إلى القسم A؟ - في لعبة طاولة الزهر، لديك قطعة بيضاء على المربع 17 وقطعة سوداء على المربع 19. في دورك، ترمي نردين وتحرك القطعة السوداء. ما هو احتمال أن تتمكن من أكل القطعة البيضاء (أي الوصول إلى نفس المربع)؟ - في انتخابات بين المرشحين C و T، يصوت الناخبان 3 و 4 بشكل مستقل، وكل منهما لديه احتمال 0.6 للتصويت لـ C. إذا علمت أن احتمال أن يصوت كلاهما لـ C هو 0.4، ما هو احتمال فوز C؟ + يرمي يوليوس قيصر عملتين معدنيتين عادلتين.\n\nبافتراض أن الرميتين مستقلتان، ما احتمال أن يحصل على وجهين (صورة في كلتيهما)؟ + ستة جوارب فردية في دُرجك: اثنان أحمران، واثنان أزرقان، واثنان بنفسجيان. المكان مظلم — لا ترى شيئًا.\n\nتسحب جوربًا أول بشكل عشوائي منتظم، ثم جوربًا ثانيًا (عشوائيًا أيضًا) من الخمسة المتبقية.\n\nما احتمال أن ينتهي بك الأمر بجوربين من اللون نفسه؟ + عند رمي نرد عادل ذي ست وجوه، ما احتمال الحصول على رقم زوجي؟ + ترمي نردين عادلين — ومستقلين — لكلٍّ منهما ست وجوه.\n\nما احتمال أن يساوي مجموع الرقمين أكبر قيمة ممكنة، أي 12؟ + افترض أن المواليد ذكور باحتمال 0.51، وإناث باحتمال 0.49، وأن الولادات مستقلة.\n\nإذا كان لديك طفلان، فما احتمال أن يكونا بنتين؟ يعطي الرسم أدناه إجابة تقريبية، لكنني أبحث عن العدد الدقيق. + يضع صديق أمامك مجموعة أوراق لعب مخلوطة تمامًا من 52 ورقة، ويذكّرك بلطف بأن المجموعة القياسية تحتوي على أربعة آصات.\n\nإذا سحبت ورقتين (دون النظر)، فما احتمال أن تكونا آصين؟ + هذا تكملة للسؤال السابق: سحبت ورقتيك، وللأسف لم تكن أيٌّ منهما آصًا.\n\nصديقك كريم: يسمح لك بسحب عشر أوراق إضافية. ولا حظّ أيضًا. تعلم أنه بقيت 40 ورقة في المجموعة، منها أربعة آصات.\n\nإذا سحب صديقك الآن ورقتين، فما احتمال أن يحصل على آص واحد بالضبط؟ + مرة أخرى تواجه مجموعة أوراق مخلوطة تمامًا من 52 ورقة — تحتوي على أربعة أنواع من 13 ورقة لكل نوع، كما يذكّرك صديقك بلطف.\n\nإذا سحبت ورقتين، فما احتمال أن تكونا من النوع نفسه؟ + تخيّل للحظة أن القرود لا تأكل سوى ثلاثة أنواع من التوت — أزرق وأحمر وأصفر — وأن للقرود تفضيلات. مثلًا، بعضها يرى أن الأحمر هو الأفضل، يليه الأزرق، ثم الأصفر (أحمر > أزرق > أصفر).\n\nتفضيلات القرود صارمة: لا تعادل، ما يترك لنا ستة ترتيبات ممكنة فقط للتوت.\n\nكل التفضيلات متساوية الاحتمال: سُدس القرود يرى أحمر > أزرق > أصفر؛ وسُدس آخر يرى أحمر > أصفر > أزرق. لم أخبرك بتفضيلات الأسداس الأربعة المتبقية، لكن يمكنك استنتاجها بسرد بقية الترتيبات.\n\nتقابل قردًا عشوائيًا وتعرض عليه الاختيار بين توتة حمراء وأخرى زرقاء. يختار الأحمر. الآن تعرض عليه الأحمر أو الأصفر — بالنظر إلى اختياره السابق، ما احتمال أن يختار الأحمر مجددًا؟ + سرقت من الملك وأُلقيت في السجن. لكن الملك رحيم، وبدلًا من إعدامك على الفور، يسمح لك بلعب لعبة صغيرة.\n\nيُعطى لك 100 كرة — 50 سوداء و50 بيضاء — وعليك توزيعها في وعاءين، بأي طريقة تشاء، ما دمت تلتزم بقواعد الملك.\n\nيجب أن تضع كل الكرات، ولا يجوز ترك أي وعاء فارغًا. سيُهزّ كل وعاء لتختلط الكرات — ترتيب وضعها لا يهم.\n\nثم يتبع الملك إجراءً بسيطًا: يختار وعاءً بشكل عشوائي منتظم؛ ومن ذلك الوعاء يسحب كرة بشكل عشوائي منتظم. إن كانت بيضاء تعيش؛ وإن كانت سوداء فستُطعَم للأسود.\n\nيمكنك وضع كل الكرات البيضاء في وعاء وكل السوداء في الآخر، فتكون فرصتك مناصفةً — لكن يمكنك تحقيق أفضل من ذلك! إذا وزّعت الكرات على أفضل نحو ممكن، فما احتمال نجاتك؟ + وجد صديقان، ليلى وكريم، عملة غير عادلة: احتمال ظهور الصورة (وجه) فيها 72٪. لا أعرف كيف تبدو مثل هذه العملة، لكن لنتظاهر بوجودها.\n\nتقترح ليلى لعبة: ترمي العملة مرتين؛ إن ظهر وجه ثم كتابة تفوز هي؛ وإن كان العكس (كتابة ثم وجه) يفوز كريم؛ وإن لم يحدث أيٌّ منهما تُعاد اللعبة وتستمر حتى يظهر فائز.\n\nما احتمال فوز كريم؟ + نفكّر في الأطفال مجددًا — لنبقَ على افتراضنا بأن المواليد ذكور باحتمال 0.51، وإناث باحتمال 0.49، والولادات مستقلة.\n\nأنت باحث مهتم بالعائلات الكبيرة: ضمن مشروعك الأخير قررت مقابلة 50 عائلة لدى كل منها ثمانية أطفال بالضبط. يوضّح الرسم أدناه النتائج الممكنة لعائلة واحدة. ما احتمال أن تجد عائلة واحدة أو أكثر يكون فيها كل الأطفال من الجنس نفسه (كلهم ذكور أو كلهم إناث)؟ + أنت متسابق في برنامج يستضيفه مونتي هول. أمامك 10 أبواب مغلقة: خلف أحدها سيارة فاخرة، وخلف الأبواب التسعة الأخرى ماعز فقط.\n\nتختار بابًا. ثم يفعل مونتي شيئًا كريمًا: من الأبواب التسعة التي لم تخترها، يفتح 8 أبواب فيها ماعز. لاحظ أن مونتي يستطيع فعل ذلك دائمًا، بغضّ النظر عن صحة اختيارك الأول. (إن كان اختيارك الأول صحيحًا، فأمام مونتي عدة طرق لاختيار الأبواب التي يفتحها: افترض أنه يختار عشوائيًا.)\n\nعند هذه النقطة يبقى بابان مغلقان: خلف أحدهما سيارة والآخر ماعز. يسألك مونتي إن كنت تفضّل البقاء على اختيارك الأصلي أم التبديل.\n\nإذا بدّلت، فما احتمال فوزك بالسيارة؟ + ترمي نردين عادلين ذوي ست وجوه.\n\nمع الافتراض المعتاد بأن الرميات مستقلة، ما احتمال أن يساوي مجموع الرقمين 7؟ + افترض أن 0.05 من السكان يفضّلون العمل مع أشخاص من الجنس نفسه فقط، ولنفترض للتبسيط أن الباقين 0.95 يفضّلون العمل مع الجنسين. لا تعرف سعاد الأعداد الإجمالية، لكنها تستطيع تخمين تفضيل الأشخاص بدقة 90٪.\n\nبعبارة أخرى، إن كان الشخص يفضّل العمل مع الجنس نفسه فهناك احتمال 0.9 أن تصنّفه سعاد كذلك بشكل صحيح (واحتمال 0.1 أن تظنه يفضّل العمل مع الجنسين خطأً)؛ ويسري قول مماثل إن كان يفضّل العمل مع الجنسين.\n\nمن المثير للاهتمام أن سعاد ستبالغ في تقدير نسبة من يفضّلون العمل مع الجنس نفسه، وبهامش كبير. إذا قابلت شخصًا مسحوبًا عشوائيًا من السكان، فما احتمال أن تظنّه يفضّل العمل مع الجنس نفسه؟ + تأمّل النرود الثلاثة أدناه: لكلٍّ منها ست وجوه، لكن لنفترض أن الوجوه المقابلة المخفية مطابقة للظاهرة. هذا يعني أن للنرد الأحمر احتمال 1/3 لإظهار 9، مثلًا.\n\nالنرد الأحمر «أقوى» من الأخضر، بمعنى أن احتمال إظهاره رقمًا أكبر هو 5/9 (أي يفوز أكثر من نصف الوقت). وبالمثل، الأخضر أقوى من الأزرق، أيضًا باحتمال 5/9.\n\nقد تظن أن أحمر > أخضر > أزرق يعني أن الأحمر هو الأقوى إجمالًا، لكن هذا — للغرابة — غير صحيح. عند رمي الأحمر ضد الأزرق، ما احتمال أن يُظهر النرد الأحمر الرقم الأكبر؟ + افترض أن الرومان القدماء كان لديهم احتمال 0.2 للوفاة في كلٍّ من الفترات العمرية التالية: [0، 2]، و[2، 10]، و[10، 30]، و[30، 70]، و[70، 90].\n\nلتبسيط الحسابات، لنفترض أنه بشرط الوفاة في أي من تلك الفترات الخمس، يكون العمر عند الوفاة موزّعًا بانتظام على الفترة. أي أنه بشرط الوفاة بين 0 و2، عاش الروماني الوسطي سنة واحدة؛ وبشرط الوفاة بين 2 و10، كان الوسطي 6 سنوات؛ وهكذا. بهذه الأرقام (الافتراضية) كان أمل الحياة عند الولادة 31.4 سنة فقط، بسبب وفيات الأطفال أساسًا.\n\nما أمل الحياة (أي العمر المتوقع عند الوفاة) لروماني قديم كان لا يزال حيًّا عند سن 30؟ إنه أكبر بكثير من 31.4 سنة — أتعرف لماذا؟ + يقترح عليك صديق لعبة: إن خمّنت بدقة مقدار المال في محفظته، يكون المال لك؛ وإلا لا تحصل على شيء. يُسمح لك بتخمين واحد.\n\nتعتقد أن هناك احتمال 50٪ أن يكون في محفظته 0 دولار، واحتمال 25٪ أن يكون فيها 1 دولار، و24٪ أن يكون فيها 100 دولار، و — للتشويق — احتمال 1٪ أن يكون فيها 1000 دولار.\n\nأيّ مبلغ بالدولار ينبغي أن تخمّنه لتعظيم أرباحك المتوقعة؟ + تتكوّن كلية الدراسات العليا في جامعة كاليفورنيا في بيركلي من قسمين — لنسمّهما A وB.\n\nفي القسم A معدّل القبول 0.5 للرجال والنساء معًا. أما في القسم B فالمعدّل 0.1 للرجال و0.2 للنساء — إذن من الواضح أن حظّ النساء في القبول لا يقلّ عن حظّ الرجال، أيًّا كان القسم الذي يتقدّمون إليه.\n\nومع ذلك، وللمفاجأة، فإن معدّل القبول الإجمالي في بيركلي، بالقسمين معًا، هو 0.3 للرجال لكنه 0.25 فقط للنساء. كيف يكون ذلك؟\n\nلنفترض أن كل متقدّم يختار قسمًا واحدًا فقط (يتقدّم إلى A أو B، لا كليهما). لا بد أن الرجال موزّعون بالتساوي بين A وB؛ وهذا فعلًا يعطي معدّل قبول إجماليًا قدره (0.5 + 0.1)/2 = 0.3 بين الرجال. فما نسبة المتقدّمات اللواتي يخترن القسم A؟ + الطاولة (البَكجامون) لعبة قديمة للاعبين تجمع بين المهارة والحظ. لنفترض أن الدور دور اللاعبة السوداء: تتحكم بقطعتين، وتودّ أسر قطعة بيضاء مكشوفة تبعد ست خطوات أمامها.\n\nسترمي نردين، وستتمكن من أسر البيضاء إذا — وفقط إذا — أظهرت ستة واحدة على الأقل، أو كان مجموع رمياتها يساوي ستة، أو أظهرت اثنين مزدوجين. (في الطاولة تُلعب المزدوجات مرتين، فمن يرمي اثنين مزدوجين يحق له أربع حركات بمقدار اثنين.) ما احتمال أن تتمكن السوداء من أسر البيضاء في حركتها التالية؟ + مرشّحان، ديماغوجي اسمه T وامرأة اسمها C، يتنافسان على رئاسة بلد صغير عدد سكانه في سن الاقتراع خمسة أشخاص. الناخبان 1 و2 متأكدان من التصويت لـ C، بينما اختار الناخب 5 التصويت لـ T. (لنفترض أن المرشّحَين لا يصوّتان — أو إن شئت، فـ C هي الناخب 1 وT هو الناخب 5.)\n\nالناخبان 3 و4 مترددان: لكلٍّ منهما احتمال 40٪ للتصويت لـ T (واحتمال 60٪ لـ C). والمثير أن تصويتيهما مرتبطان (ربما يتناقشان في السياسة معًا — إنه بلد صغير في النهاية): بشرط أن يختار الناخب 3 المرشّحة C، هناك احتمال 2/3 أن يفعل الناخب 4 المثل.\n\nما احتمال فوز C في الانتخابات (أي حصولها على أغلبية أصوات البلد الخمسة)؟ + لنعُد إلى افتراضنا المفضّل بخصوص المواليد: ذكور باحتمال 0.51، وإناث باحتمال 0.49، والجنس مستقل عبر الولادات.\n\nتقابل زوجين يخبرانك بأن لديهما طفلين، وتسألهما إن كان لديهما أي بنات. إن كان لديهما (أي بنت واحدة أو بنتان)، فما احتمال أن يكون طفلاهما بنتين؟ + أنت طفل في الثانية عشرة في حصة رياضة مع 49 طفلًا آخرين (50 معك). نشاطا اليوم هما الجري (الذي تحبه) والسباحة (التي تكرهها).\n\nسيختار المدرّب 20 طفلًا للذهاب إلى المسبح؛ والثلاثون الباقون سيجرون. لنفترض أنه يختار السبّاحين هكذا: يختار شخصًا أول بشكل عشوائي منتظم من المجموعة (50)، ثم ثانيًا عشوائيًا من الـ49 الباقين، ويستمر حتى يختار 20 سبّاحًا.\n\nما احتمال أن تذهب للجري؟ + افترض أن صندوق استثمار معيّنًا لديه، خلال السنة القادمة، احتمال 40٪ للتفوّق على السوق واحتمال 60٪ لأداء أضعف (ربما لسوء الإدارة أو ارتفاع الرسوم). إن تفوّق على السوق فسيستمر بالتأكيد سنة أخرى، لكنه في خطر إن كان أداؤه أضعف: في تلك الحالة هناك احتمال 50٪ أن يسحب مستثمروه أموالهم غاضبين فيزول الصندوق ببساطة.\n\nإذا كان الصندوق لا يزال قائمًا في نهاية السنة، فما احتمال أنه تفوّق على السوق؟ ستجد أنه أعلى من الاحتمال القبْلي البالغ 40٪. + تخيّل مجتمعًا من النساء لكلٍّ منهن ابنة واحدة، وافترض أن تواتر العيون الزرقاء متطابق في الجيلين.\n\nتستطلع كل الأمهات ذوات العيون الزرقاء، فتجد أن 75٪ من بناتهن زُرْق العيون أيضًا. تتساءل ماذا لو فعلت العكس: لو استطلعت كل البنات ذوات العيون الزرقاء، فما نسبة أمهاتهن اللواتي تكون عيونهن زرقاء؟ بعبارة أخرى، ما احتمال أن تكون عينا الأم زرقاوين بشرط أن تكون عينا ابنتها زرقاوين؟ + تحمل قطعة خشب طولها متر واحد، وفجأة تتعثّر وتُسقطها على الأرض. يا لك من أخرق! ينكسر الخشب إلى قطعة يسرى وأخرى يمنى، ونقطة الكسر موزّعة بانتظام على الطول: لأي L بين 0 و1، احتمال أن يكون طول القطعة اليسرى أقل من L يساوي L. مثلًا، هناك احتمال 60٪ أن يكون طول القطعة اليسرى أقل من 0.6 متر.\n\nما الطول المتوقع (أي المتوسط) بالمتر للقطعة اليمنى؟ + على جدارك ساعة عقارب معطّلة: كل ستين دقيقة يتقدّم عقرب الساعات ساعةً واحدة باحتمال 0.95، لكنه يبقى عالقًا مكانه باحتمال 0.05. افترض أن الحركات مستقلة عبر الساعات (فاحتمال البقاء عالقًا ثلاث ساعات متتالية هو 0.05^3 مثلًا). لنتجاهل عقرب الدقائق ونركّز على عقرب الساعات المتقلّب.\n\nالوقت الآن منتصف النهار (الثانية عشرة). بعد ثلاث ساعات من الآن، ما احتمال أن تشير الساعة إلى 2؟ + أنت متطوّع في حملة سياسية؛ مهمتك الاتصال بالناخبين وحثّهم على دعم مرشّحك. تتصل بتطبيق يختار لك عشوائيًا 5 أرقام هاتف من قاعدة تضم 20 مدخلًا. الاختيار بلا إرجاع — من السخف الاتصال بالشخص نفسه مرتين.\n\nافترض أن 16 من الأرقام في القاعدة تخصّ ناخبين مترددين، و2 تخصّ داعمين لخصمك، و2 تخصّ داعمين لجهتك. (من الأمثل الاتصال بالمترددين فقط الذين قد يُقنَعون، لكن القاعدة ليست مثالية.)\n\nما احتمال أن يكون من بين الأشخاص الخمسة الذين تتصل بهم 3 مترددون وداعم واحد لمرشّحك وداعم واحد لخصمك؟ + تختار صديقتك حرفًا عشوائيًا من الأبجدية المكوّنة من 26 حرفًا، وتطلب منك قراءة أفكارها وتخمين الحرف الذي تفكّر فيه. للأسف، ليس لديك أي وسيلة لمعرفة كيف اختارت: ربما اختارت الحرف Z باحتمال 1، أو ربما كانت متساوية الاحتمال في اختيار A أو B أو C أو D (كلٌّ باحتمال 25٪). هناك عدد لا نهائي من طرق اختيار حرف عشوائي، وقد تتبع أيًّا منها.\n\nافترض أنك قررت أن تخمّن A دائمًا. ليس لديك أي وسيلة لمعرفة احتمال صحة تخمينك: قد يكون أي شيء من 0٪ إلى 100٪، تبعًا لكيفية اختيارها حرفها السري.\n\nيتّضح أن هناك قاعدة بسيطة يمكنك اتّباعها تضمن احتمالًا موجبًا لصحة تخمينك، بطريقة لا تعتمد إطلاقًا على ما تفعله صديقتك. إن اتّبعت تلك القاعدة، فما احتمال أن تخمّن بشكل صحيح؟ + مدرّبة رقص تعلّم صفًّا من 5 أولاد و5 بنات، وتودّ تكوين أزواج (ولد وبنت). كم طريقة مختلفة أمامها لفعل ذلك؟ + كم طريقة لتوزيع 12 شخصًا على 3 مجموعات من 4 إذا كانت المجموعات متمايزة؟ اعتبر أن للمجموعات أسماءً، مثلًا المجموعة A والمجموعة B والمجموعة C. + كم طريقة لاصطفاف 6 أشخاص في خط، إذا كان اثنان منهم (لنسمّهما A وB) عدوّين لدودين ويرفضان الوقوف جنبًا إلى جنب؟ + ثلاثة أصدقاء يلعبون لعبة بقبّعات سوداء وبيضاء. في بداية اللعبة، يُسنَد إلى كل شخص لون قبّعة عشوائيًا، أسود أو أبيض، باستقلال عن الجميع وباحتمال 50-50.\n\nتخيّل أن الأشخاص لا يرون ما على رؤوسهم، ويرون فقط لوني قبّعتَي صديقيهم. لا يُسمح بأي تواصل. على اللاعبين أن يخمّنوا في آنٍ واحد لون قبّعتهم (أو يمتنعوا عن التخمين). تفوز المجموعة كلها بجائزة إن خمّن واحد منهم على الأقل بشكل صحيح ولم يخمّن أحد خطأً.\n\nافترض أن الفريق يتبنّى استراتيجية «معاكِسة»: من يرى قبّعتين بيضاوين يخمّن أن قبّعته سوداء؛ ومن يرى قبّعتين سوداوين يخمّن أنها بيضاء؛ ومن يرى غير ذلك يمتنع عن التخمين. في بداية اللعبة (قبل إسناد ألوان القبّعات)، ما احتمال أن تفوز المجموعة بالجائزة؟ + كم عدد المثلثات المختلفة التي يمكنك تكوينها من الخطوط السبعة أدناه؟ لاحظ أن لا خطّين متوازيان، وتخيّل أنها تمتد إلى ما لا نهاية خارج حدود الصورة. نفترض أن ما من أكثر من خطّين يتقاطعان في النقطة نفسها. + أنت توظّف مديرًا تنفيذيًا جديدًا وقد تقدّم ثلاثة أشخاص للمنصب. هدفك تعظيم احتمال توظيف الأفضل من الثلاثة، لكنك لا تعرف مسبقًا أيّهم الأفضل.\n\nافترض أن عليك مقابلة المرشّحين تِباعًا (لسبب ما لا يمكنك مقابلتهم بالتوازي)، وأن عليك اتخاذ قرار فوري بالتوظيف أو الرفض عند نهاية كل مقابلة. المعلومة الوحيدة التي يمكنك الاستناد إليها هي أداء المرشّح الحالي مقارنةً بمن سبقه: تعرف ما إذا كان الأفضل بين من قابلتهم حتى الآن، لكنك لا تعرف كيف سيقارَن بمن لم تقابلهم بعد. (للتبسيط، افترض أن المرشّحين لا يرفضون عرضك أبدًا.)\n\nمثلًا، قد ترفض المرشّح الأول، ثم تقابل الثاني وتوظّفه، فلا تلتقي الثالث في الصف أبدًا.\n\nوفق الاستراتيجية المثلى، ما احتمال أن توظّف المرشّح الأفضل؟ - + + 1/4 + 1/5 + 1/2 + 1/36 + 0.49^2 + (4/52)*(3/51) + 2*(4/40)*36/39 + 12/51 + 2/3 + 1/2 + (1/2)*49/99 + 1/2 + 1-(1-0.51^8-0.49^8)^50 + 9/10 + 6/36 + 0.05*0.9 + 0.95*0.1 + 4/9 + 65 + 100 + 1/6 + 17/36 + 1-0.2 + 0.49^2 / (1 - 0.51^2) + 30/50 + 0.4/(0.4 + 0.6*0.5) + 0.75 + 1/2 + 3*0.05*0.95^2 + 140/969 + 1/26 + 5! + 12!/(4!*4!*4!) + 6! - 10*4! + 3/4 + C(7,3) + 1/2 + @@ -339,194 +381,77 @@ - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. - لنفترض أن لديك 100 دولار. إذا كان احتمال الفوز هو p، فإن قيمتك المتوقعة هي p*200 + (1-p)*0 = 200p. إذا كان هذا أكبر من 100 دولار، فيجب أن تلعب. + أحد النهجين جمع متتالية لا نهائية. وآخر ملاحظة أن المسألة إما تنتهي أو تُعاد بعد الرمية الأولى: هذا يتيح التعبير عن الجواب تعاوديًا، أي يمكنك إقامة معادلة يظهر فيها الجواب على الطرفين. انظر https://math.stackexchange.com/questions/605083/calculate-expectation-of-a-geometric-random-variable لحل مسألة مشابهة. + لأي حدث A، لدينا:\n\nPr[A] = 1 - Pr[!A]\n\nحيث !A تعني «ليس A»، أي مكمّل A. أحيانًا يسهل حساب Pr[!A]، وهو هنا احتمال أن تكون أعياد الميلاد الثلاثة جميعها مختلفة. لو كنّا نسأل عن شخصين فقط، لكان الجواب 1 - 365/365 * 364/365، لأن عيد الميلاد الأول قد يكون أي يوم، وهناك 364 يومًا متساوية الاحتمال تختلف عن الأول. أترى كيف تعمّم ذلك على ثلاثة أشخاص؟ إن كان أول عيدَي ميلاد مختلفين، فهناك 363 طريقة يمكن بها لعيد الميلاد الثالث أن يختلف عن الأولين. لتلميح أكثر تفصيلًا، انتقل أفقيًا إلى السؤال التالي وراجع تلميحه. + حُلّ اللغز السابق أولًا، وعبّر عن الجواب كدالة في عدد الأشخاص في المجموعة. قد تحتاج آلة حاسبة لهذا. إن كنت لا تزال عالقًا، فتلميح كبير أن هذا لغز شهير يسمى مفارقة عيد الميلاد (أو مسألة عيد الميلاد)، ويُغطّى في كثير من مقررات وكتب الإحصاء التمهيدية. تجد حلولًا مفصّلة كثيرة على الإنترنت، منها https://stats.stackexchange.com/questions/210360/birthday-problem-difference-between-canonical-solution-and-approximation و https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem وكثير غيرها إن بحثت عن حلول مفارقة عيد الميلاد. + جرّب المشارطة على نتيجة الرمية الأولى (أو الأوليين). لاحظ أن المسألة تُعاد كلما ظهرت كتابة: هذا يتيح التعبير عن الجواب تعاوديًا، أي يمكنك إقامة معادلة يظهر فيها الحل على الطرفين. + هذا سؤال بايز كلاسيكي:\n\nPr[A | B] = Pr[A and B] / Pr[B]\n\nحيث Pr[A | B] هو احتمال A بشرط B. حدسيًا، تقصر انتباهك على الحالات التي يقع فيها B (ظهور وجه)، وتسأل عن كم مرة يقع A أيضًا (العملة عادلة). + لاحظ أن هناك ثلاث طرق لأن يكون واحد بالضبط من أطفالك الثلاثة بنتًا: قد تُولَد أولًا أو ثانيًا أو ثالثًا. إن كنت لا تزال عالقًا، فاقرأ عن التوزيع ذي الحدين. + هذا سؤال بايز آخر:\n\nPr[A | B] = Pr[A and B] / Pr[B]\n\nحيث Pr[A | B] هو احتمال A بشرط B. جرّب التفكير بدلالة تواترات السكان: كم شخصًا (في المتوسط) سيكون اختباره إيجابيًا؟ ومن بين هؤلاء، كم منهم مصاب بالمرض؟ + يجمع هذا السؤال بين قاعدة بايز وتطبيق بسيط للتوزيع ذي الحدين. استخدمت كليهما في ألغاز سابقة! انظر https://math.stackexchange.com/questions/1255613/probability-of-a-double-headed-coin لحل لغز مشابه. + الحيلة هنا استخدام خطية التوقّع: لأي متغيّرين عشوائيين X وY:\n\nE[X + Y] = E[X] + E[Y]\n\nالمؤثّر E يرمز للتوقّع، وهو أساسًا متوسط. أتستطيع التعبير عن جواب هذه المسألة (زمن الانتظار الكلي) كمجموع؟ إن كنت لا تزال عالقًا، فتلميح كبير: هذا اللغز هو مسألة جامع القسائم الكلاسيكية. انظر http://mat.uab.cat/matmat/PDFv2014/v2014n02.pdf أو https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector%27s_problem لشرح مفصّل. + إليك حقيقة مفيدة عن التوزيع ذي الحدين: بمعلومية n تجربة مستقلة، لكل منها احتمال نجاح p، فإن احتمال k نجاحًا بالضبط هو: (n اختيار k) * p^k * (1-p)^(n-k). الحدّ (n اختيار k) هو عدد المجموعات الجزئية بحجم k التي يمكن تكوينها من مجموعة بحجم n. إن بدا هذا كلامًا غامضًا، فاقرأ عن التوزيع ذي الحدين. + جرّب حل النسخة المختزلة من المسألة حيث الدور دور A لكن B ميت أصلًا. لاحظ أن المسألة تُعاد كلما أخطأ A وC معًا (أي كلما أصبح الدور دور A). + يمكنك التعبير عن جواب هذه المسألة بدلالة مسائل فرعية يكون فيها أمام الجندب خطوات أقل ليقطعها. + ستكون هذه المسألة سهلة جدًا إن كنت قد حللت السؤال السابق. وإن لم تفعل، فجرّب الإجابة عن السؤال نفسه للوح 2×1، ثم 2×2، ثم 2×3، وهكذا، وانظر هل تلاحظ النمط. + ستجتاز هذه المسألة بسرعة إن كنت قد حللت السؤالين السابقين. وكنقاط إضافية، جرّب إيجاد الصيغة العامة كدالة في طول السلسلة. + تنتهي هذه اللعبة بعد ثلاث مراحل، فيمكنك استخدام الاستقراء العكسي: أوجد الاستراتيجية المثلى للمرحلة الثالثة؛ ثم المثلى للمرحلة الثانية؛ وهكذا. + لاحظ أن المسألة تنتهي — بمعنى أنك تعرف هل سيجلس أحد في مقعد الشخص الأخير — بمجرد أن يجلس أحد في المقعد الأول أو الأخير. + إن رفضت الاقتراح، تُعاد اللعبة فعليًا: وهذا يوحي بأن قاعدة قبولك ينبغي أن تكون نفسها في كل فترة. علاوة على ذلك، ستتبع قاعدة عتبة بسيطة، أي القبول إذا وفقط إذا كان الاقتراح فوق عتبة ما. يمكنك التعبير عن القيمة كدالة في العتبة، وهو سهل إن استخدمت حقيقة أن اللعبة تُعاد عند الرفض. تذكّر خصم القيمة المستمرة. + جرّب حل المسألة حين يكون المجتمع الابتدائي واحدًا بدل اثنين. أترى العلاقة بين ذلك العدد والجواب المطلوب؟ ينقرض المجتمع إن انقرضت كل الفروع، حيث «الفرع» يعني كل نسل بكتيريا معيّنة في المجتمع الابتدائي. إن احتجت مزيدًا من المساعدة، فابحث عن عمليات التفرّع واحتمالات الانقراض (انظر http://wwwf.imperial.ac.uk/~ejm/M3S4/NOTES2.PDF أو https://web.ma.utexas.edu/users/gordanz/notes/lecture7.pdf مثلًا). + جرّب استخدام مبدأ الشمول والاستبعاد: لأي حدثين A وB:\n\nPr[A or B] = Pr[A] + Pr[B] - Pr[A and B]\n\nأتستطيع معرفة كيف تمدّد المبدأ إلى ثلاثة أحداث؟ + إن حاولت حساب احتمال كل عدد ممكن من الكتل، فستعلق على الأرجح. بدلًا من ذلك، جرّب تعريف الجواب كمجموع واستخدام خطية التوقّع. + اتّبع التلميح نفسه كما في اللغز السابق: استخدم خطية التوقّع. وكمكافأة، ينبغي أن تتحقق من أن توزيع الطقس المعطى في السؤال ثابت (مستقر) فعلًا بمعلومية احتمالات الانتقال. + تذكّر أننا نفترض ابتداءً وجود عدد متساوٍ من الكرات الحمراء والسوداء في الجرة. كي يكون للسؤال معنى، نحتاج أربع كرات أو أكثر إجمالًا. أتستطيع إقامة معادلة في مجهول واحد تعطيك الجواب؟ + بشرط الالتحاق بالجامعة، لم تعد القدرة الرياضية موزّعة بانتظام — سترى أن كتلتها تنزاح يمينًا. جرّب إيجاد احتمال أن تكون القدرة الرياضية أقل من x، بشرط الالتحاق بالجامعة. + يسأل السؤال عن احتمال أن يكون طفل مختار بشكل عشوائي منتظم — عبر كل الأطفال في السكان — أنثى. وهذا ليس نفسه النسبة المتوقعة للبنات في عائلة، إذ يؤخذ التوقّع بانتظام عبر العائلات. نهج مفيد أن تفكّر أولًا بتوليد قائمة مرتّبة من الأجناس العشوائية، مثلًا ذ ذ ذ ب ب ذ ب ب… ثم إسنادها إلى عائلات. لاحظ أن الإسناد لا يؤثّر في نسبة الإناث بين السكان. + لو كنّا مهتمين بعدد الأطفال المولودين لزوجين معيّنين، لجاء الجواب من توزيع هندسي باحتمال نجاح 0.49. أتستطيع معرفة كيف تعدّل ذلك التوزيع لتراعي أننا نعاين الأطفال لا العائلات؟ + رُتَب المئين، بحكم تعريفها، موزّعة بانتظام على [0، 100]، وتوقّعها بالتالي 50. أترى كيف يحدّد ذلك الميل؟ والمثير أن الميل يساوي أيضًا الارتباط بين رتبتَي المئين للأب والطفل. + جرّب حساب الطول المتوقع للقطعة اليسرى، بشرط أن تكون اليسرى أطول من اليمنى. هذا يعني أن نقطة الكسر منتظمة على [0.5، 1.0]. لاحظ أنه بالتناظر:\n\nE[طول اليسرى | اليسرى أطول] = E[طول اليمنى | اليمنى أطول]\n\nحيث E يرمز إلى التوقّع (expectation). + عقرب الساعات يتبع عملية ماركوف من الرتبة الأولى حالاتها الأعداد الصحيحة من 1 إلى 12. إلى أي توزيع يؤول؟ لاحظ أن التوزيع المنتظم ثابت (مستقر): إن كان لكل ساعة احتمال 1/12 عند الزمن N، فسيصحّ ذلك عند الزمن N+1. ماذا يخبرنا هذا عن التوزيع الحدّي حين يشير عقرب الساعات ابتداءً إلى منتصف النهار؟ + عدد الأشخاص في الغرفة A يتبع عملية ماركوف من الرتبة الأولى على الأعداد الصحيحة من 0 إلى 10. ما توزيعه الثابت (المستقر)؟ تحقّق هل يصلح توزيع ذي الحدين. السلسلة دورية بدور 2 — تتناوب بين الحالات الفردية والزوجية — لكن لاحظ أن التوزيع الابتدائي يضع احتمالًا متساويًا على الحالات الزوجية والفردية، أي أن العدد الابتدائي للأشخاص في A إما 10 أو 9، كلٌّ باحتمال ½. ابحث عن سلاسل إهرنفست على الإنترنت لشروح أكثر تفصيلًا. + تذكّر قاعدة بايز:\n\nPr[A | B] = Pr[A and B] / Pr[B]\n\nهنا A هو صعود السهم وB هو حدث أن تشير N+1 إشارة إلى الأعلى (والباقية N إلى الأسفل). بشرط حركة السعر (صعودًا أو هبوطًا باحتمال متساوٍ)، يتبع عدد الإشارات المشيرة إلى الأعلى توزيعًا ذا الحدين. اكتب الاحتمال الشرطي الذي يهمّنا، وحاول اختصار أكبر عدد ممكن من الحدود. ستنتهي بحل بسيط. + ركّز على احتمال أن ينتهي العنصر الأول من المجموعة الأصلية في العيّنة. أسهل نهج استخدام:\n\nPr[A] = 1 - Pr[!A]\n\nحيث !A يرمز لمكمّل A، أي احتمال ألّا يُعايَن العنصر أبدًا. ستجد أن النهاية التي يسأل عنها السؤال تتضمن الثابت الرياضي e (أساس اللوغاريتم الطبيعي). يمكنك كتابة e صغيرة في جوابك. + يبيّن الرسم بعض المسارات الممكنة لعدد أصوات C الصافي (أي العدّ الجاري لأصوات C ناقص أصوات T). نهتم باحتمال ألّا يبلغ المسار الصفر أبدًا بعد عدّ الصوت الأول. يتّضح أن هناك طريقة أنيقة لكنها صعبة قليلًا لحل هذه المسألة — تصفّح الألغاز الصعبة إن كنت مهتمًا. لنأخذ نهج القوة الغاشمة الآن: سيبلغ المسار الصفر إذا وفقط إذا بدأ بـ T، أو C-T، أو C-C-T-T، أو C-C-C-T-T-T، أو C-C-T-C-T-T. اكتب واحدًا ناقص مجموع تلك الاحتمالات، واختصر أكبر عدد ممكن من الحدود وستنتهي بحل بسيط. + كل زوج (رسالة أصلية، رسالة مشوّشة) يستلزم قناعًا وحيدًا. مثلًا، (1111، 1110) يستلزم أن القناع لا بد أنه كان ثلاث شرطات ثم X. يسأل السؤال عن Pr[الرسالة الأصلية | الرسالة المشوّشة]. يخبرك الجزء الأول من التلميح أن:\n\nPr[الرسالة المشوّشة | الرسالة الأصلية] = (1/2)^4\n\nأي احتمال (probability) اختيار قناع معيّن، لأي زوج (رسالة مشوّشة، رسالة أصلية). ستجد أن هذا يستلزم أن معتقدات سارة البعدية (بعد ملاحظة الرسالة المشوّشة) مطابقة لمعتقداتها القبلية (قبل ملاحظتها). + ابدأ بافتراض أنك تعرف موضع أول نقطتين (سمِّهما A وB مثلًا)، واحسب احتمال أن يحتوي المثلث ABC على مركز الدائرة بشرط النقطتين A وB. إن استطعت التعبير عن ذلك الاحتمال كدالة في موضعي A وB (أو في المسافة بينهما)، فيمكنك حينها حساب جواب اللغز بالمكاملة على المواضع الممكنة لـ A وB. لإجابة مفصّلة، انظر https://math.stackexchange.com/questions/268635/what-is-the-probability-that-the-center-of-the-circle-is-contained-within-the-tr أو https://math.stackexchange.com/questions/172296/probabilty-of-random-points-on-perimeter-containing-center. - أنت عالق في جزيرة مهجورة — ولتمضية الوقت، قررت رمي نرد عادل بشكل متكرر. دعنا نفترض أن الرميات مستقلة. - \n\nفي المتوسط، كم عدد الرميات التي تحتاجها حتى ترى رقماً أكبر من أربعة؟ - ثلاثة أصدقاء يقضون وقتاً معاً. للتبسيط، افترض أن أعياد ميلادهم موزعة بشكل موحد ومستقل على مدار السنة المكونة من 365 يوماً. - \n\nما هو احتمال أن يكون لدى البعض (أي اثنين أو ثلاثة) من الأشخاص في هذه المجموعة عيد ميلاد مشترك؟ - باستخدام نفس إعداد المسألة السابقة، ما هو أصغر حجم للمجموعة بحيث يكون احتمال وجود عيد ميلاد مشترك أكبر من ½؟ - \n\nهذه هي مسألة عيد الميلاد، المعروفة أيضاً باسم مفارقة عيد الميلاد: الإجابة أصغر مما يتوقع معظم الناس. - مرة أخرى أنت محاصر في جزيرة. لديك الكثير من الوقت الحر، وقررت رمي عملة معدنية عادلة بشكل متكرر؛ كالمعتاد، افترض أن الرميات مستقلة. - \n\nفي المتوسط، كم عدد الرميات التي تحتاجها للحصول على وجهين متتاليين؟ - وضعت ثلاث عملات معدنية في جرة: واحدة عادية، وواحدة بوجهين، وواحدة بكتابتين. - \n\nيختار شخص ما عملة بشكل عشوائي موحد من الجرة ويرميها. إذا ظهر وجه، ما هو احتمال أن تكون العملة عادلة؟ - افترض أن الأطفال يولدون ذكوراً باحتمال 0.51، وإناثاً باحتمال 0.49، وأن الولادات مستقلة. - \n\nإذا كان لديك ثلاثة أطفال، ما هو احتمال أن يكون لديك ولدان وبنت واحدة؟ - مرض غير سار معين يصيب 150 شخصاً، في المتوسط، من كل 100,000. - \n\nطور العلماء اختباراً بدقة مذهلة تبلغ 99٪. بمعنى آخر، إذا كان الشخص مصاباً بالمرض، سيكون الاختبار إيجابياً باحتمال 0.99؛ وإذا لم يكن مصاباً، سيكون إيجابياً باحتمال 0.01. - \n\nإذا تم اختيار شخص بشكل عشوائي موحد من السكان وكان اختباره إيجابياً، ما هو احتمال أن يكون مصاباً بالمرض؟ - أنت مرة أخرى أمام جرة مليئة بالعملات المعدنية. هناك عشر عملات هذه المرة: واحدة لديها وجهان؛ والتسعة الأخرى عادية. جميعها لديها نفس احتمال الظهور على أي من الجانبين عند رميها. - \n\nيختار شخص ما عملة بشكل عشوائي موحد من الجرة ويرميها ثلاث مرات. إذا ظهر وجه في جميع الرميات الثلاث، ما هو احتمال أنك تتعامل مع العملة ذات الوجهين؟ - عمرك خمس سنوات وأنت مستهلك نهم للحبوب. في كل مرة تنهي فيها علبة، يرسل لك المصنع لعبة صغيرة. - \n\nلندخل بعض الاحتمالات: هناك أربعة أنواع مختلفة من الألعاب، وفي كل مرة ترسلها الشركة تختار النوع بشكل عشوائي موحد. - \n\nفي المتوسط، كم عدد علب الحبوب التي يجب أن تأكلها للحصول على مجموعة كاملة، أي واحدة من كل نوع من الألعاب؟ - أنت تجرب للانضمام إلى فريق كرة سلة، والمدرب يعطيك خيارين: يمكنك تسديد ست رميات، أو يمكنك تسديد أربع. في كلتا الحالتين يجب أن تنجح في نصف الرميات على الأقل، وإلا سيتم استبعادك من الفريق. - \n\nعدد الرميات التي تنجح فيها يتبع توزيعاً ذي الحدين: لديك احتمال ثابت للنجاح في أي رمية فردية — سنسميه مهارتك — والرميات المتتالية مستقلة. - \n\nإذا كانت مهارتك واحد، فأنت غير مبالٍ: في كلتا الحالتين، أنت متأكد من الانضمام إلى الفريق. وينطبق بيان مماثل إذا لم يكن لديك أي مهارة على الإطلاق. - \n\nمن المثير للاهتمام، أن هناك مستوى مهارة ثالث تكون فيه غير مبالٍ بين تسديد ست رميات أو أربع. إلى يسار عتبة المهارة هذه، ستفضل تسديد رميات أقل؛ وإلى اليمين، ستفضل تسديد المزيد. - \n\nما هو مستوى عتبة المهارة؟ + أنت عالق في جزيرة مهجورة — ولتمضية الوقت، قررت رمي نرد عادل ذي ست وجوه بشكل متكرر. لنفترض افتراضًا معقولًا أن الرميات مستقلة.\n\nفي المتوسط، كم رمية يلزم حتى ترى رقمًا أكبر من أربعة؟ + ثلاثة أصدقاء يقضون وقتًا معًا. للتبسيط، افترض أن أعياد ميلادهم موزّعة بانتظام واستقلال على مدار السنة المكوّنة من 365 يومًا.\n\nما احتمال أن يتشارك بعضهم (أي اثنان أو ثلاثة) في عيد الميلاد نفسه؟ + باستخدام إعداد المسألة السابقة، ما أصغر حجم مجموعة يجعل احتمال وجود عيد ميلاد مشترك أكبر من ½؟\n\nهذه هي مسألة عيد الميلاد، المعروفة أيضًا بمفارقة عيد الميلاد: الجواب أصغر مما يتوقّعه معظم الناس. + مرة أخرى أنت محاصر في جزيرة. لديك الكثير من وقت الفراغ، فقررت رمي عملة عادلة بشكل متكرر؛ وكالعادة، افترض أن الرميات مستقلة.\n\nفي المتوسط، كم رمية يلزم للحصول على وجهين متتاليين؟ + وضعت ثلاث عملات في جرة: واحدة عادية، وواحدة بوجهين، وواحدة بكتابتين.\n\nيختار شخص عملة بشكل عشوائي منتظم من الجرة ويرميها. إن ظهر وجه، فما احتمال أن تكون العملة عادلة؟ + افترض أن المواليد ذكور باحتمال 0.51، وإناث باحتمال 0.49، والولادات مستقلة.\n\nإذا كان لديك ثلاثة أطفال، فما احتمال أن يكون لديك ولدان وبنت واحدة؟ + مرض غير سارّ معيّن يصيب 150 شخصًا في المتوسط من كل 100,000.\n\nطوّر العلماء اختبارًا بدقة مذهلة تبلغ 99٪. بعبارة أخرى، إن كان الشخص مصابًا فسيكون الاختبار إيجابيًا باحتمال 0.99؛ وإن لم يكن مصابًا فسيكون إيجابيًا باحتمال 0.01.\n\nإذا اختير شخص بشكل عشوائي منتظم من السكان وكان اختباره إيجابيًا، فما احتمال أن يكون مصابًا بالمرض؟ + تواجه مجددًا جرة مليئة بالعملات. هناك عشر عملات هذه المرة: واحدة بوجهين؛ والتسع الأخرى عادية. جميعها متساوية الاحتمال في الظهور على أي جانب عند رميها.\n\nيختار شخص عملة بشكل عشوائي منتظم من الجرة ويرميها ثلاث مرات. إن ظهر وجه في الرميات الثلاث كلها، فما احتمال أنك تتعامل مع العملة ذات الوجهين؟ + عمرك خمس سنوات وأنت مستهلك نهم للحبوب. في كل مرة تنهي علبة، يرسل لك المُصنّع لعبة صغيرة.\n\nلندخل بعض الاحتمال: هناك أربعة أنواع مختلفة من الألعاب، وفي كل مرة ترسل الشركة لعبة تختار النوع بشكل عشوائي منتظم.\n\nفي المتوسط، كم علبة حبوب عليك أن تأكل للحصول على مجموعة كاملة، أي واحدة من كل نوع؟ + أنت تجرّب الانضمام إلى فريق كرة سلة، ويمنحك المدرّب خيارين: أن تسدّد ست رميات، أو أربعًا. في كلتا الحالتين عليك أن تنجح في نصف الرميات على الأقل، وإلا ستُستبعَد من الفريق.\n\nعدد الرميات التي تنجح فيها يتبع توزيعًا ذا الحدين: لديك احتمال ثابت للنجاح في أي رمية فردية — سنسمّيه مهارتك — والرميات المتتالية مستقلة.\n\nإذا كانت مهارتك تساوي واحدًا، فأنت غير مبالٍ: في كلتا الحالتين ستنضم للفريق حتمًا. ويسري قول مماثل إن لم تكن لديك أي مهارة إطلاقًا.\n\nومن المثير أن هناك مستوى مهارة ثالثًا تكون عنده غير مبالٍ بين تسديد ست رميات أو أربع. إلى يسار عتبة المهارة هذه، تفضّل تسديد رميات أقل؛ وإلى اليمين، تفضّل تسديد المزيد.\n\nما مستوى عتبة المهارة؟ + ثلاثة رجال — أسماؤهم تيسيرًا A وB وC — يخوضون مبارزة بالمسدسات. الدور دور A.\n\nقواعد هذه المبارزة غريبة نوعًا ما: لا يطلق المتبارزون النار في آنٍ واحد، بل بالتناوب. يطلق A على B، وB على C، وC على A؛ وتتكرر الدورة حتى يبقى ناجٍ واحد. إن أصبت هدفك، أطلقت على الشخص التالي في دورك التالي.\n\nمثلًا، قد يطلق A فيصيب B. وبخروج B، يصبح الدور دور C — لنفترض أنه أخطأ. الآن يعود الدور لـ A فيطلق على C؛ إن أصابه انتهت المبارزة، وA هو الناجي الوحيد.\n\nولإدخال بعض الاحتمال، لنفترض أن A وC يصيبان هدفيهما باحتمال 0.5 لكلٍّ منهما، لكن B مصوّب أفضل ويصيب باحتمال 0.75 — وكل الطلقات مستقلة.\n\nما احتمال أن يفوز A بالمبارزة؟ + جندب يجلس على حجر صغير سنسمّيه الحجر صفر. وأمامه، مصفوفة في خط، الأحجار واحد واثنان وثلاثة، وهكذا حتى تسعة.\n\nيودّ الجندب بلوغ ذلك الحجر التاسع، لأسباب مجهولة. ما نعرفه أنه سيصل إليه بجمع قفزات جندبية صغيرة، كل منها تنقله إلى الأمام خطوة أو خطوتين. أي أن للجندب طريقتين بالضبط لبلوغ الحجر اثنين: قفزة كبيرة واحدة، أو قفزتان صغيرتان.\n\nكم مسارًا مختلفًا يمكن للجندب سلوكه لبلوغ وجهته؟ + كم طريقة لتغطية لوح بحجم 2×10 ببلاطات دومينو بحجم 2×1؟\n\nالقواعد بسيطة: يجب أن تغطي البلاطات اللوح تمامًا؛ ولا يجوز أن تبرز أي بلاطة خارجه؛ ولا أن تتداخل البلاطات. + لأغراض هذا اللغز، «السلسلة» تعني متتالية من الأصفار والآحاد، مثل 1011.\n\nتأمّل كل السلاسل المختلفة بطول ثمانية — خطوة أولى جيدة أن تحسب كم منها موجودة.\n\nإذا اخترت سلسلة بطول ثمانية بشكل عشوائي منتظم، فما احتمال أن تحتوي على واحدين (أو أكثر) متتاليين؟ + تلعب لعبة من ثلاث مراحل. في كل مرحلة، يرمي صديقك نردًا ذا ست وجوه: يستقر على رقم ما، لنقل 2 مثلًا.\n\nعند هذه النقطة، يمكنك إما أخذ 2 دولار (أي المبلغ الظاهر على النرد) فتنتهي اللعبة؛ أو، إن بقيت مرحلة أخرى، أن تختار الانتظار على أمل الحصول على رقم أعلى مستقبلًا.\n\nيعتمد ما تكسبه على نتائج الرميات وعلى استراتيجيتك. لنفترض أنك تختار الاستراتيجية التي تعظّم عائدك المتوقع.\n\nما قيمة اللعبة؟ بعبارة أخرى، قبل لعب المرحلة الأولى، ما عائدك المتوقع؟ + أربعمئة وأربعون مسافرًا ينتظرون الصعود إلى طائرة كبيرة تحوي هذا العدد من المقاعد بالضبط. المسافر الأول أضاع بطاقة صعوده — لكنه يشعر بأنه محظوظ، فيختار مقعدًا بشكل عشوائي منتظم.\n\nبقية المسافرين معهم بطاقاتهم. إن كان مقعدهم المخصّص شاغرًا جلسوا فيه؛ وإلا اختاروا مقعدًا متاحًا بشكل عشوائي منتظم.\n\nحين يصل المسافر الأخير أخيرًا إلى مكانه المخصّص، ما احتمال أن يجد شخصًا آخر جالسًا فيه؟ + أمامك آلة أبدية تقترح مبالغ من المال، يمكنك قبولها أو رفضها. إن قبلت، سلّمتك الآلة المبلغ المقترح، لكنها تتوقف ولن تعطيك شيئًا آخر أبدًا. وإن رفضت، أظهرت لك اقتراحًا جديدًا في الفترة التالية.\n\nاقتراح كل فترة سحبة مستقلة من توزيع منتظم على [0، 100]. الفترات متباعدة زمنيًا — عدة أشهر مثلًا — وأنت غير صبور: الدولار في الفترة التالية يساوي 0.9 فقط لديك اليوم؛ وبالمثل، الدولار بعد فترتين يساوي 0.9*0.9 = 0.81 اليوم، وهكذا.\n\nلو كانت استراتيجيتك القبول دائمًا، لتوقّعت كسب 50 دولارًا، أي متوسط السحبة الأولى. ولو قررت بدلًا من ذلك قبول أي اقتراح أول فوق 50، و — إن رفضت الأول — أي اقتراح ثانٍ أيًّا كان، لكان عائدك المتوقع المخصوم 60 دولارًا. لكن يمكنك تحقيق أفضل!\n\nإن اتّبعت الاستراتيجية التي تعظّم عائدك المتوقع المخصوم، فما العتبة التي ينبغي فوقها أن تقبل الاقتراح الأول للآلة؟ + أنت عالِم أحياء تدرس مجتمعًا من البكتيريا: منها اثنتان في البداية، تسبحان بسعادة في طبقهما.\n\nفي كل فترة، ستموت كل بكتيريا (باحتمال 0.25)، أو تنقسم إلى بكتيريتين سعيدتين. افترض أن الوفيات مستقلة عبر الزمن والأفراد، وأن هذه العملية تستمر إلى الأبد. لنبسّط ونتجاهل احتمال أن تملأ المستعمرة الطبق أو تنفد المغذّيات.\n\nعلى أفق زمني لا نهائي، ما احتمال أن ينقرض المجتمع بأكمله؟ + تختار عددًا واحدًا بشكل عشوائي منتظم من المجموعة {1، 2، … ، 1000}.\n\nما احتمال أن يكون مضاعفًا لواحد (أو أكثر) من الأعداد 7 أو 11 أو 13؟ + تخيّل أن الطقس في يوم معيّن قد يكون مشمسًا (باحتمال 0.4)، أو غائمًا (بالمثل)، أو ممطرًا (باحتمال 0.2). لنفترض الافتراض الجريء بأن الطقس مستقل عبر الأيام.\n\nلنعرّف «الكتل» أو «السلاسل» من الطقس بأنها أكبر مجموعات ممكنة من الأيام المتتالية التي يكون فيها الطقس نفسه. مثلًا، لو أمطرت ثمانية أيام، تلاها يوم شمس، ثم يوم مطر، لكان لدينا ثلاث كتل.\n\nعبر فترة عشرة أيام، ما العدد المتوقع لكتل الطقس المتماثل؟ + لنطرح السؤال نفسه كما في اللغز السابق، لكن في إطار أكثر واقعية: ما زال لدينا احتمال 0.4 للشمس، ومثله للغيوم، و0.2 للمطر، لكننا سنتخلّى عن افتراض استقلال الطقس عبر الأيام.\n\nبدلًا من ذلك، يتبع الطقس عملية ماركوف من الرتبة الأولى: إن كان اليوم مشمسًا أو غائمًا، فاحتمالات طقس الغد هي: 0.5 شمس، و0.25 غيوم، و0.25 مطر؛ وإن كان اليوم ممطرًا، فسيكون الغد غائمًا باحتمال 1 — لن تمطر مرتين متتاليتين أبدًا.\n\nالآن، مجددًا عبر فترة عشرة أيام، ما العدد المتوقع لكتل الطقس المتماثل؟ + يقدّم لك رجل حكيم جرة تحتوي على عدد متساوٍ من الكرات الحمراء والسوداء.\n\nإن مددت يدك وسحبت كرتين (بشكل عشوائي منتظم ومستقل) من الجرة، فاحتمال أن تكونا من لون متطابق هو بالضرورة أقل من ½. وإليك الجزء الصعب: إن تطابق لونا هاتين الكرتين الأوليين، ومددت يدك لأخذ كرتين أُخريين، فإن احتمال أن تكون هاتان من لون متطابق هو بالضبط ½.\n\nكيف يكون ذلك؟ ما العدد الكلي للكرات في الجرة — الحمراء زائد السوداء — قبل أن تسحب أي كرة؟ + افترض أنه في عموم السكان، القدرة الرياضية والقدرة الكتابية موزّعتان باستقلال وبانتظام على [0، 1].\n\nيلتحق الناس بالجامعة إذا وفقط إذا كان مجموع قدرتيهم الكتابية والرياضية أكبر من واحد. من بين الملتحقين بالجامعة، ما نسبة من تفوق قدرتهم الرياضية 0.9، أي في أعلى 10٪ من عموم السكان؟ + لنبقَ على افتراضاتنا المعتادة بخصوص المواليد: إناث باحتمال 0.49، وذكور باحتمال 0.51، والجنس مستقل عبر الولادات.\n\nإذا استمر عدد كبير من الآباء في الإنجاب حتى يُرزَقوا ببنت — عندها يتوقفون، سواء أكانت وحيدة أم لها إخوة كثر — فما نسبة الإناث في عموم السكان من الأطفال؟ + لنحافظ على افتراضات السؤال السابق: يستمر الآباء في الإنجاب حتى يُرزَقوا ببنت واحدة عندها يتوقفون؛ والمواليد إناث باحتمال 0.49.\n\nإذا اخترنا طفلًا بشكل عشوائي منتظم (من كامل مجتمع الأطفال)، فما احتمال أن يكون له شقيق واحد بالضبط؟ + رُتَب مئينية الدخل أعداد من 0 إلى 100 تدل على موقعك في توزيع الدخل — مثلًا، 75 تعني أنك تكسب أكثر من ثلاثة أرباع الناس، لكن أقل من الربع الأعلى.\n\nلنفترض أن رتبة الدخل المئينية المتوقعة للطفل دالة خطية في رتبة دخل والديه المئينية. يتّضح أن المقطع يكفي لتحديد الميل. أترى لماذا؟ إن كان المقطع 20 — أي أن أدنى الوالدين دخلًا يكون أطفالهم عند المئين العشرين في المتوسط — فما الميل؟ + تحمل قطعة خشب طولها متر واحد، وفجأة تتعثّر وتُسقطها على الأرض. يا لك من أخرق! ينكسر الخشب إلى قطعة يسرى وأخرى يمنى، ونقطة الكسر موزّعة بانتظام على الطول: لأي L بين 0 و1، احتمال أن يكون طول القطعة اليسرى أقل من L يساوي L. مثلًا، هناك احتمال 60٪ أن يكون طول القطعة اليسرى أقل من 0.6 متر.\n\nما الطول المتوقع (أي المتوسط) بالمتر للقطعة الأطول؟ + على جدارك ساعة عقارب معطّلة ذات 12 ساعة: كل ستين دقيقة يتقدّم عقرب الساعات ساعةً واحدة باحتمال 0.99، لكنه يبقى عالقًا مكانه باحتمال 0.01. الحركات مستقلة عبر الساعات: فاحتمال تحرّك-عالق-تحرّك هو 0.99*0.01*0.99 مثلًا.\n\nالوقت الآن منتصف النهار. نهتم باحتمال أن يشير عقرب الساعات إلى 3 بعد N ساعة من الآن. إلى ماذا يؤول هذا الاحتمال حين تذهب N إلى ما لا نهاية؟ + عشرة أشخاص في حفلة داخل شقة من غرفتين، وفي البداية من المتساوي الاحتمال أن يكون العشرة كلهم في الغرفة A أو أن يكون تسعة في A وواحد في B. ليست هذه حفلة عادية: كل دقيقة، يُختار شخص واحد بشكل عشوائي منتظم (باستقلال عمّا حدث سابقًا)، وعليه الانتقال إلى الغرفة الأخرى (أي إن كان في A انتقل إلى B، والعكس).\n\nمثلًا، لنفترض أننا في الـ50٪ من الحالات حيث الجميع في A ابتداءً. في نهاية الدقيقة الأولى سيُختار أحدهم ويمشي إلى B، فيبقى تسعة في A. وفي نهاية الدقيقة الثانية، باحتمال 9/10 سيُختار أحد من في A (فينضم إلى الشخص في B)، أو، باحتمال 1/10، يعود الشخص الذي في B إلى A فتعود التهيئة الأولية.\n\nنهتم باحتمال أن تنقسم المجموعة بالتساوي بين الغرفتين A وB (أي 5 في كلٍّ) بعد N دقيقة. إلى ماذا يؤول هذا الاحتمال حين تذهب N إلى ما لا نهاية؟ + أنت متداول تفكّر في سهم ستكون حركة سعره التالية صعودًا أو هبوطًا باحتمال متساوٍ. لحسن الحظ، لديك إشارة ثنائية تنبّئ بتغيّر السعر (ويمكن ملاحظتها مسبقًا). دقة الإشارة 60٪: بشرط صعود السهم، هناك احتمال 0.6 أن تقول الإشارة «صعود» (و0.4 أن تقول «هبوط»)؛ والعكس صحيح إن هبط السهم.\n\nلديك وصول إلى إشارات كثيرة كهذه، جميعها بالدقة نفسها. افترض أنها مستقلة شرطيًا بمعلومية حركة السعر (مثلًا، بشرط صعود السهم، هناك احتمال 0.6^2 أن تشير الإشارتان الأولى والثانية إلى الصعود). لنفترض أنك تلاحظ N+1 إشارة تشير إلى الصعود وN تشير إلى الهبوط (من أصل 2N+1 إشارة، أي أن العدد الكلي فردي). ما احتمال أن يصعد السهم؟ + أُعطيت مجموعة من N عنصرًا متمايزًا، تسحب منها عيّنة عشوائية بحجم N مع الإرجاع — أي يُسمح باختيار العنصر أكثر من مرة. توليد عيّنة بهذه الطريقة متصل بالأسلوب الإحصائي المسمّى «البوتستراب».\n\nنهتم بالنسبة المتوقعة من المجموعة الأصلية التي تنتهي في العيّنة (أي احتمال أن يظهر عنصر معيّن من المجموعة الأصلية مرة واحدة على الأقل في العيّنة). إلى ماذا يؤول هذا الاحتمال حين تذهب N إلى ما لا نهاية؟ + تخيّل بلدًا صوّت فيه 10 أشخاص في انتخابات بين امرأة اسمها C وديماغوجي اسمه T. لنفترض أن C نالت 7 أصوات، بينما صوّت 3 للمرشّح T — لكن الجمهور لا يعرف ذلك بعد لأن الأصوات لم تُحصَ.\n\nتوضَع بطاقات الناخبين في جرة كبيرة. قبل فتحها، تُهزّ الجرة بطريقة تخلط البطاقات عشوائيًا، وكل الترتيبات متساوية الاحتمال. ثم تُفتح الجرة وتُخرَج البطاقات واحدة تلو الأخرى وتُحصى. بما أن 7 صوّتوا لـ C (و3 لـ T)، نعلم أنها ستنتهي بأفضلية صافية قدرها 4 أصوات في نهاية العدّ. لكن هناك عشوائية في كيفية الوصول إلى ذلك.\n\nما احتمال أن تكون C متقدّمة على T بفارق موجب عند كل نقطة في عملية العدّ؟ + تودّ ليلى إرسال رسالة سرية ثنائية من أربعة أرقام إلى كريم، مثل 0000 أو 0011، عبر البريد، لكنها تخشى أن يعترض طرف ثالث رسالتها. لحسن الحظ، لدى ليلى وكريم طريقة لتعمية رسائلهما: في آخر لقاء لهما، ولّدا «قناعًا لمرة واحدة»، وهو متتالية من أربعة رموز من X والشرطة السفلية، مثل XX_X. سيستخدمان القناع لتعمية رسالتهما.\n\nهناك 2^4 قناعًا ممكنًا: اختارت ليلى أحدها بشكل عشوائي منتظم وشاركته مع كريم قبل افتراقهما. اتفقا على البروتوكول التالي: حين تحتاج ليلى إرسال رسالة ثنائية من أربعة أرقام إلى كريم، تعمّيها باستخدام القناع. حيثما يقول القناع X، تقلب البِت المقابل في الرسالة (أي 1 يصبح 0 و0 يصبح 1)؛ وتترك بقية الرسالة دون تغيير (أي في المواضع التي يقول فيها القناع شرطة سفلية). سترسل الرسالة المشوّشة بالبريد، وسيستخدم كريم نسخته من القناع لفكّها.\n\nسارة هي الجاسوسة التي تقرأ بريد ليلى وكريم. تعرف منهجية القناع لمرة واحدة، وتعلم أن ليلى اختارت قناعًا بشكل عشوائي منتظم. علاوة على ذلك، تعتقد سارة أن هناك احتمال 30٪ أن تكون رسالة ليلى الحقيقية (غير المشوّشة) 0000، واحتمال 60٪ أن تكون 1111، واحتمال 10٪ أن تكون 0011.\n\nتعترض سارة رسالة ليلى إلى كريم فتجد الرسالة (المشوّشة) 1110. بالنظر إلى ما لاحظته سارة، ما احتمال أن تكون رسالة ليلى الحقيقية إلى كريم هي 1111؟ + إذا اخترت ثلاث نقاط بشكل عشوائي منتظم من محيط دائرة، فما احتمال أن يحتوي المثلث الناتج على مركز الدائرة؟ @@ -566,8 +491,6 @@ 1/4 - - hound mouse_grid_horizontal @@ -590,11 +513,45 @@ - + ستساعدك خطية التوقّع: سمِّ الثعالب 1، 2، …، 5، وليكن X_i مؤشّرًا لما إذا كان الثعلب i متبوعًا بكلب صيد. الجواب هو:\n\nE[X_1 + … + X_5] = E[X_1] + … + E[X_5]\n\nوبما أن احتمال أن يُتبَع بكلب هو نفسه لكل ثعلب، يبسط الجواب إلى 5*E[X_1]، أي كل ما عليك حساب احتمال أن يُتبَع ثعلب معيّن بكلب وضربه في خمسة. + لاحظ أن لكل المسارات العدد نفسه من الخطوات الكلية — بل والعدد نفسه من الخطوات شرقًا. لذا يمكنك تمثيل أي مسار كمتتالية من N كلمة، K منها تقول «شرق» والباقية تقول «شمال». كم طريقة لإعادة ترتيب مثل هذه المتتالية؟ + جرّب عدّ المسارات التي تمرّ عبر الفخّ. خطوة أولى مفيدة أن تعدّ عدد المسارات من موضع البداية إلى الفخّ — وهو ما تعرف كيف تفعله أصلًا إن حللت اللغز السابق. + يمكنك استخدام حقيقة أن:\n\nE[X] = E[E[X|Y]]\n\nهنا، ليكن X جواب اللغز. اختيار جيد لـ Y مؤشّرٌ لما إذا كان القطار A يصل قبل علامة الدقائق الثلاث أو بعدها: إن وصل بعدها، فأنت تعلم أنك ستأخذ القطار B (إذ سيصل خلال ثلاث دقائق على الأكثر). وإن أردت نسيان قصة القطارات، فاللغز يسأل عن E[min(X_1, X_2)] حيث X_1 ~ Uniform([0, 5])، وX_2 ~ Uniform([0, 3])، والمتغيّران مستقلان. + هذا شبيه جدًا بمسألة الثعالب: الجواب بسيط إن استخدمت خطية التوقّع. إن ركّزت على النساء مثلًا، فالجواب هو 8*E[X_1]، حيث X_1 عدد الرجال الجالسين بجوار المرأة رقم واحد، أي X_1 إما 0 أو 1 أو 2. + جرّب حل اللغز السابق أولًا (اقرأ تلميحه إن علِقت). الفرق الوحيد هنا مراعاة احتمال الجلوس عند طرفي الطاولة، حيث يكون لك جار واحد فقط. حدسيًا، ينبغي أن يقود هذا إلى عدد أصغر من اللغز السابق. انظر https://stats.stackexchange.com/a/509919/9330 لحل مفصّل. + تعريف الارتباط هو:\n\nCorr[X, Y] = Cov[X, Y] / (Var[X]*Var[Y])^0.5\n\nويمكنك بلوغ الجواب باتّباع التعريفات والمكاملة. حيلة أن تفكّر بانحدار القدرة الكتابية على القدرة الرياضية بشرط الالتحاق بالجامعة — سيعطيك ميل خط الانحدار ذاك الارتباطَ. تأكّد أنك تفهم لماذا يصحّ ذلك! + استخدم مبدأ الشمول والاستبعاد. نسخة الحدثين هي:\n\nPr[A or B] = Pr[A] + Pr[B] - Pr[A and B]\n\nوعليك استخدام نسخة الأحداث الـ n حيث n عدد الأشخاص (وأيضًا عدد القبّعات). + ابدأ من أي ثروة ابتدائية موجبة x، وفكّر في احتمال بلوغ الحالة (x - 1) يومًا. الجواب المطلوب هو مربّع ذلك الاحتمال: كي تُفلس عليك أن تبلغ في مرحلة ما ثروة قدرها 1 دولار، ثم، وقد بلغتها، أن تبلغ في مرحلة ما ثروة قدرها 0 دولار. + لنفترض أنني أسأل عن إعادة معاينة بحجم خمسة من مجموعة من خمسة عناصر. تخيّل خمس نقاط وأربعة قضبان مصفوفة في خط، هكذا: oo|o||oo|. تمثّل تلك المتتالية بالتحديد إعادة معاينة عُويِن فيها العنصر الأول مرتين، والثاني مرة، والثالث أبدًا، والرابع مرتين، والخامس أبدًا. كم متتالية متمايزة يمكن توليدها بالعدد نفسه من الدوائر والقضبان؟ + ابدأ بحساب العدد المتوقع للزيارات الكلية إلى المبدأ. ما العلاقة بين ذلك العدد واحتمال العودة يومًا؟ + إن بدأت المضيفة بالتمرير يمينًا، فأنت تعلم أنك خسرت. ركّز على مجموعة الأشخاص الذين لم يحملوا العملة بعد، وفكّر في خروج الأشخاص من تلك المجموعة. الفائز هو آخر من يتبقّى. ما دام في المجموعة أكثر من شخص، فلا بد أن يكون التالي في الخروج أحد الشخصين عند الطرفين (في الرسم، ذلك أنت أو الشخص D مثلًا). + للمكعّب ثمانية أركان (رؤوس)، لكن يمكنك تبسيط المسألة بالتركيز على بُعد العنكبوت عن النملة — وهو ابتداءً 3، وبعامة عدد في {0، 1، 2، 3} — وهو بشكل ملائم يتبع عملية ماركوف من الرتبة الأولى. + الجواب بالضرورة أكبر من 4. حيلة لحلّه بسهولة يدويًا هي استخدام المارتينغيلات. لنفترض أنه عند كل زمن N يصل شخص ويراهن بدولار على أن الرمية N ستكون H (صورة). إن فاز، راهن بدولارين على T (كتابة)؛ وإن فاز مجددًا، بأربعة على T؛ وإن فاز مجددًا، بثمانية على H. يتوقفون عن المراهنة بمجرد أن يخسروا مرة أو يفوزوا بأربعة رهانات متتالية. المبلغ التراكمي الذي يربحه هؤلاء المراهنون مارتينغيل متوسطه صفر، ويمكنك استخدام تلك الحقيقة لحل الزمن المتوقع حتى أول H T T H. + جرّب حل اللغز السابق أولًا — إن اكتشفت حيلة المارتينغيل، فسيكون هذا سهلًا. والسؤال المثير هو التفكير في سبب حدوث أحد النمطين أسرع، في المتوسط، من الآخر. + هذا اللغز مباشر إن كنت تعرف المتسلسلة القُوّية للدالة الأسية، أي أن e^x يساوي مجموع (x^N)/(N!) من N=0 إلى ما لا نهاية. جرّب اللعب بـ (e^x + e^(-x)) و (e^x - e^(-x)). + لأي عدد زوجي N، ليكن F(N) عدد المسارات بطول N (أي مسارات الثروة عبر N رهانًا) التي تبدأ بثروة واحد، وتنتهي بثروة واحد، ولا تبلغ الصفر أبدًا. مثلًا، F(0)=1، وF(2)=1، وF(4)=2؛ ومسارا F(4) هما صعود-صعود-هبوط-هبوط وصعود-هبوط-صعود-هبوط. الحل متصل بـ F(10). أتستطيع التعبير عن F تعاوديًا؟ ابحث عن أعداد كتالان إن علِقت. + يوضّح الرسم عدة مسارات عيّنية لعدد أصوات C الصافي. نبحث عن احتمال ألّا يبلغ المسار الصفر أبدًا بعد الصوت الأول. ستفيدك عدة حقائق: أولًا، احتمال أن يكون أول صوت يخرج من الصندوق لـ C هو 70/100. ثانيًا، لنفترض أن المسار يبلغ الصفر (مثلًا عند الدائرة البرتقالية في الرسم): عند تلك النقطة، حين يبلغ المسار الصفر لأول مرة، نكون قد عددنا عددًا متساويًا من الأصوات لـ T ولـ C. لذا يمكننا «عكس» الجزء الأيسر من المسار — من المبدأ إلى الدائرة البرتقالية — حول المحور الأفقي، ما يعطينا مسارًا بديلًا له بالضرورة الاحتمال نفسه كالمسار الأصلي. وعليه، بشرط أن يبلغ المسار الصفر (مثلًا عند الدائرة البرتقالية)، فإن أول صوت يخرج من الصندوق متساوي الاحتمال أن يكون لـ C أو لـ T. اجمع تلك الحقائق للحصول على الجواب. - + خمسة ثعالب وسبعة كلاب صيد تدخل جُحرًا. وبينما هي بالداخل تختلط تمامًا، بحيث تكون كل الترتيبات متساوية الاحتمال.\n\nتخرج الثعالب والكلاب من الجحر في صفٍّ مرتّب. في المتوسط، كم ثعلبًا يتبعه مباشرةً كلبُ صيد؟ + فأر جائع يجلس عند الركن الجنوبي الغربي لسطح من البلاط بحجم أربعة في سبعة، كما يوضّح الرسم أدناه. يتشمّم الفأر ويكتشف قطعة جبن شهية عند الركن الشمالي الشرقي.\n\nلنفترض أن الفأر يتحرّك فقط على حواف البلاطات، ويختار السير شمالًا أو شرقًا فحسب، إذ يودّ بلوغ وجبته سريعًا. مثلًا، قد يبلغ الفأر الجبن بالتحرّك شمالًا ثلاث مرات، وشرقًا سبع مرات، ثم شمالًا مرة.\n\nكم مسارًا مختلفًا يمكن للفأر سلوكه لبلوغ الجبن؟ + هذا تكملة للغز السابق: تسري القواعد نفسها على حركة الفأر.\n\nهناك الآن فخّ — كبير وأحمر ودائري — بين الفأر وعشائه. يبدأ الفأر رحلته عند الموضع (0، 0)؛ والفخّ ينتظر عند (5، 2)؛ والجبن اللذيذ عند (7، 4).\n\nإذا اختار الفأر مسارًا من موضعه إلى الجبن بشكل عشوائي منتظم، فما احتمال أن ينجو من الرحلة؟ + تدخل محطة مترو مستعجلًا جدًا، وتقرر ركوب أول قطار يصل.\n\nيمرّ خطّان عبر هذه المحطة: أحدهما كل خمس دقائق (الخط A)، والآخر كل ثلاث (الخط B). وبدقة، لنفترض أن الوصول التالي للقطار A موزّع بانتظام على الفترة [0، 5]، ومثله القطار B على [0، 3]. والوصولان مستقلان.\n\nتسير القطارات بدقة الساعة: لا عشوائية إلا في زمن الوصول التالي. مثلًا، بمعلومية أن القطار B التالي يصل عند الزمن 0.87، يمكنك أن تكون على يقين تام بوصول آخر عند الزمن 3.87.\n\nكم دقيقة ستنتظر في المتوسط حتى تركب قطارًا؟ + خمسة رجال وثماني نساء سيجلسون عشوائيًا حول طاولة دائرية، بحيث تكون كل الترتيبات متساوية الاحتمال.\n\nلنفترض أن الجميع مغايرون (وعازبون)، بحيث يوجد «زوج محتمل» كلما جلس رجل وامرأة جنبًا إلى جنب. لاحظ أن الشخص قد يكون جزءًا من زوجين محتملين (على الأكثر): واحد مع من يجلس عن يساره، وآخر مع من يجلس عن يمينه.\n\nفي المتوسط، كم زوجًا محتملًا سيجلس على الطاولة؟ + هذه نسخة معدّلة من اللغز السابق: ما زال لدينا خمسة رجال وثماني نساء، لكننا فقدنا الطاولة الدائرية وأصبح ضيوفنا يجلسون في خط. وكما قبلُ، يُوضَعون عشوائيًا بحيث تكون كل الترتيبات متساوية الاحتمال.\n\nما العدد المتوقع للأزواج المحتملين؟ + لنفترض أن القدرة الرياضية والقدرة الكتابية مستقلتان — وبالتالي غير مرتبطتين — في عموم السكان.\n\nولإبقاء الأمر قابلًا للحل، تخيّل أن القدرتين الرياضية والكتابية موزّعتان باستقلال وبانتظام على الفترة [0، 1]، وأن الطلاب يلتحقون بالجامعة إذا وفقط إذا كان مجموع قدرتيهم الرياضية والكتابية أكبر من واحد.\n\nكل نقطة أدناه شخص محاكى؛ ويدل اللون على التحاقه بالجامعة من عدمه. من بين مجتمع طلاب الجامعة، ما الارتباط بين القدرة الكتابية والقدرة الرياضية؟ + تدعو بعض الأصدقاء إلى حفلة بموضوع القبّعات. ومع تقدّم الليل، تقرر لعب لعبة: يصطفّ الجميع ويضع كلٌّ قبّعته على الأرض أمامه. ثم يُعاد ترتيب الضيوف عشوائيًا، بحيث تكون كل الترتيبات متساوية الاحتمال. بعد ذلك، يلتقط كل ضيف القبّعة التي أمامه.\n\nنهتم باحتمال أن يرتدي ضيف واحد على الأقل قبّعته الخاصة في نهاية اللعبة. إلى ماذا يؤول هذا الاحتمال حين يكبر عدد الضيوف إلى ما لا نهاية؟ + تجد 2 دولار في جيبك وتقرر المقامرة. لحسن الحظ، للعبة التي تلعبها احتمالات مواتية جدًا: في كل مرة تلعب، تربح 1 دولار باحتمال 3/4 وتخسر 1 دولار باحتمال 1/4.\n\nلنفترض أنك تواصل اللعب ما دام لديك مال في جيبك. إن خسرت أول رهانين، أفلست وعدت إلى البيت بعد جولتين فقط؛ لكن إن فزت إلى الأبد، لعبت إلى الأبد.\n\nما احتمال أن تُفلس في نهاية المطاف؟ + ابدأ بمجموعة من عشرة عناصر متمايزة، وعرّف «إعادة المعاينة» بأنها عيّنة بحجم عشرة، مع الإرجاع، مسحوبة من مجموعتك الأصلية. إن كانت المجموعة الأصلية {1، 2، … ، 10} مثلًا، فهناك إعادة معاينة يظهر فيها العدد 2 عشر مرات، وأخرى يظهر فيها كل عدد أصلي مرة، وأخرى يظهر فيها العددان 1 و2 خمس مرات لكلٍّ منهما. وهناك كثير غيرها.\n\nما عدد إعادات المعاينة المتمايزة؟ + جسيم يعيش على شبكة ثنائية الأبعاد ويبدأ رحلته عند المبدأ (0، 0). في كل ثانية يقفز إلى الشمال الغربي أو الشمال الشرقي أو الجنوب الغربي أو الجنوب الشرقي باحتمال متساوٍ، كما في الرسم أدناه. بعد قفزة واحدة، للجسيم احتمال 0.25 لأن يكون عند الموضع (1، 1) مثلًا.\n\nما احتمال أن يعود الجسيم يومًا إلى المبدأ؟ + مضيفة وتسعة ضيوف يجلسون حول طاولة دائرية. مضيفتك كريمة: تضع عملة ذهبية أمامها، وتعلن أن أحدكم سيأخذها إلى بيته.\n\nمن يحمل العملة — بدءًا بالمضيفة — سيرميها: إن ظهر وجه مرّرها يسارًا؛ وإن ظهرت كتابة مرّرها يمينًا. يستمر هذا حتى يكون كلٌّ قد حمل العملة مرة واحدة على الأقل — عند تلك اللحظة تنتهي اللعبة، ويأخذ حاملُ العملة إياها إلى بيته. بعبارة أخرى، الفائز هو آخر من يحمل العملة لأول مرة.\n\nفي المثال أدناه، تنتقل العملة من المضيفة إلى A إلى B، ثم تدور بين A وB مدة، ثم تنتقل من B إلى C. في ذلك السيناريو الافتراضي، يستحيل أن تفوز المضيفة أو A أو B أو C (لكن يبقى لك حظّ).\n\nأنت تجلس مباشرةً عن يمين المضيفة واللعبة على وشك أن تبدأ. ما احتمال فوزك؟ + تخيّل غرفة كبيرة — أو، بصورة أكثر تجريدًا، مكعّبًا — يسكنه كائنان صغيران: عنكبوت جائع عند أحد الأركان؛ وعند الركن المقابل تمامًا، نملة مذعورة.\n\nوبدقة، لنفترض أن العنكبوت ابتداءً عند الركن الشمالي الشرقي من السقف، بينما تبذل النملة قصارى جهدها للاختباء عند الركن الجنوبي الغربي من الأرض، كما في الصورة أدناه.\n\nالنملة متحجّرة من الخوف ولا تتحرّك أبدًا. أما العنكبوت فيتبع مشيًا عشوائيًا: كلما بلغ ركنًا، يختار حافة بشكل عشوائي منتظم (باستقلال عن خياراته السابقة)، ويتبعها إلى الركن التالي.\n\nفي المتوسط، كم حافةً سيقطعها العنكبوت قبل أن يصل إلى النملة؟ + عند النظر إلى متتالية لا نهائية من رميات عملة عادلة (نرمز لكل رمية بحرف: H تعني «صورة» [Heads] و T تعني «كتابة» [Tails])، كم يستغرق في المتوسط حتى يظهر النمط H T T H (أي: صورة، كتابة، كتابة، صورة)؟ + سامي وسميرة يلعبان لعبة مبنية على رمي عملة عادلة إلى ما لا نهاية. (نرمز لكل رمية بحرف: H تعني «صورة» [Heads] و T تعني «كتابة» [Tails].) يراهن سامي على ظهور النمط H H H H (أي: أربع صور متتالية) أولًا، بينما راهنت سميرة على H T T H (أي: صورة، كتابة، كتابة، صورة).\n\nليكن T_a عدد الرميات حتى يظهر نمط سامي لأول مرة، وT_i المثل لنمط سميرة. إن وعد سامي بأن يدفع لسميرة (T_a - T_i)، التي قد تكون موجبة أو سالبة، فكم ستتلقّى في المتوسط؟ + تأمّل متغيّرًا عشوائيًا بواسون بقيمة متوقعة 1، أي:\n\nPr[X = k] = e^(-1) / (k!)\n\nللأعداد الصحيحة غير السالبة k (وصفر عدا ذلك)، حيث k! هو مضروب k. ما احتمال أن يكون X زوجيًا؟ + تأمّل مقامرًا ثروته الابتدائية دولار واحد، ويراهن مرارًا رهانات عادلة تزيد فيها ثروته أو تنقص بمقدار دولار (أي لكل نتيجة احتمال ½). يستمر بالمراهنة حتى ينفد ماله. بشرط أن يُفلس المقامر في رهانه الحادي عشر، ما احتمال أن يكون مسار ثروته قد صعد مباشرةً إلى 6 دولارات ثم انهار مباشرةً إلى 0؟ + تخيّل بلدًا صوّت فيه 100 شخص في انتخابات بين امرأة اسمها C وديماغوجي اسمه T. لنفترض أن C نالت 70 صوتًا، بينما صوّت 30 للمرشّح T — لكن الجمهور لا يعرف ذلك بعد لأن الأصوات لم تُحصَ.\n\nتوضَع بطاقات الناخبين في جرة كبيرة. قبل فتحها، تُهزّ الجرة بطريقة تخلط البطاقات عشوائيًا، وكل الترتيبات متساوية الاحتمال. ثم تُفتح الجرة وتُخرَج البطاقات واحدة تلو الأخرى وتُحصى.\n\nبما أن 70 صوّتوا لـ C (و30 لـ T)، نعلم أنها ستنتهي بأفضلية صافية قدرها 40 صوتًا في نهاية العدّ. لكن هناك عشوائية في كيفية الوصول إلى ذلك.\n\nما احتمال أن تكون C متقدّمة على T بفارق موجب عند كل نقطة في عملية العدّ؟ @@ -617,7 +574,7 @@ 1/42 40/100 - هل يمكنك أن تعطيني تلميحًا لهذا اللغز، دون الكشف عن الإجابة؟ إليك اللغز: - هذه هي التلميحة الحالية، يرجى التوسع فيها: - + هل يمكنك أن تعطيني تلميحًا لهذا اللغز، من دون كشف الإجابة؟ إليك اللغز: + هذا هو التلميح الحالي، يرجى التوسع فيه: +