diff --git a/.translate/state/lecture.md.yml b/.translate/state/lecture.md.yml
new file mode 100644
index 0000000..686a2b4
--- /dev/null
+++ b/.translate/state/lecture.md.yml
@@ -0,0 +1,6 @@
+source-sha: 018eb1c8384b4692d86129ae60fb1ae1200a4803
+synced-at: "2026-10-09"
+model: claude-sonnet-5
+mode: UPDATE
+section-count: 3
+tool-version: 0.29.4
diff --git a/lecture.md b/lecture.md
index 1e931d2..424caa1 100644
--- a/lecture.md
+++ b/lecture.md
@@ -12,7 +12,6 @@ translation:
   headings:
     Vector Spaces: فضاهای برداری
     Vector Spaces::Basic Properties: ویژگی‌های اساسی
-    Vector Spaces::Basic Properties::Applications in Economics: کاربردها در اقتصاد
     Matrix Operations: عملیات ماتریسی
     Matrix Operations::Applications in Economics: کاربردها در اقتصاد
     Eigenvalues and Eigenvectors: مقادیر ویژه و بردارهای ویژه
@@ -65,10 +64,6 @@ plt.show()
 
 این ویژگی‌ها تضمین می‌کنند که فضاهای برداری تحت عملیات ریاضی رفتاری قابل پیش‌بینی دارند.
 
-#### کاربردها در اقتصاد
-
-ویژگی‌های فضای برداری در مدل‌سازی اقتصادی بنیادی هستند. ویژگی بسته بودن تضمین می‌کند که ترکیب‌های تخصیص‌های امکان‌پذیر، امکان‌پذیر باقی می‌مانند، در حالی که وجود معکوس‌ها به ما امکان می‌دهد بدهی‌ها و تعهدات را مدل‌سازی کنیم.
-
 مجموع دو بردار $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$ به صورت مؤلفه‌ای تعریف می‌شود:
 
 ```{math}